L?DN2k?10?7(H) (3.35) 式中
D k?6194.(ln?0.92) (3.35a)
w
h
d D 例9：紧贴在印刷电路板上的扁平线圈平均直径为5cm,环宽
图3.18 矩形截面环形线圈
为1cm,共25匝。求低频电感。
解：根据公式(3.35a ) 求得
w D k?6194.(ln?0.92)=6.194×(ln 5+0.92)=15.667
w D 由式(3.35)得到 图3.19 扁线圈
－
L?DN2k?10?7＝0.05×252×15.667×107＝48.96μH
(5) 扁平框形线圈的电感
2 扁平长框的平均边长为l1和l2，平均对角线g?l12?l2,匝数为N。导线线径d，匝
间距离为D(图3.20)。低频时电感为
2lll?l?? L?4N2?(l1?l2)ln12?l1ln(l1?g)?l2ln(l2?g)?2g?12?0.447ND?
DN2?? ?4N(l1?l2)(A?B) (3.36)
式中A与d/D关系为
d A?ln?0557 (3.36a) .DB与匝数N的关系
l2 B?033.098.?e?N/4.95 (3.36b)
D. 多层线圈
??
l1
D d
图3.20 扁平框形线圈
(1) 长圆柱形线圈低频电感
图3.21所示圆柱多层线圈的长度l大于等于线圈厚度h时，称为长圆柱线圈。低频时电感为
h l
式中N－总匝数；D－平均直径(m)；k－根据D/l由式(3.32a) 决定；
D h－线圈厚度(m)；l－线圈长度(m)；C－与l/h有关的函数由下式决
图3.21 长圆柱形线圈 定：
2?h?－7
L?N2D?k?×10(H) (3.37) ?0.693?C???l??l???4.2h C?0.32?1?e? (3.37a)
??（2） 矩形截面的多层线圈电感（图3.22）
35
?2lll1l2g1b?c? L?4N2?l1?l2??ln12?ln?l1?g??2ln?l2?g????0.447?
b?cl?ll?ll?l2l?l212121212??－
×107(H) (3.38)
2式中N－匝数；l1，l2－矩形平均边长（m）；b，c－线圈的厚度和宽度(m)；g?l12?l2－
对角线长度(m)。 E. 互感
导线之间互感
(1) 两根平行导线之间的互感
两根导线距离为D（cm），导线长为l(m)，设导线之间距
c b 离D远远大于导线的直径，它们之间的互感为 D??2l－
M?2l?ln?1??×107(H) (3.39)
?Dl?
l1
l2
图3.22 矩形截面线圈
l1 l2
图3.23 并列导线互感
(2) 两根一端相靠近并列的导线段之间的互感（图3.23） 两根导线分别长l1（m）和l2(m),其互感为 M?l1lnl1?l2l?l?l2ln12?10?7(H) (3.40) l1l2如果两导线接近端分开距离为D(m)，其互感为 M??l1?l2?D?ln?l1?l2?D??DlnD?10?7
?? ??l1?D?ln?l1?D???l2?D?ln?l2?D??10–7（H） (3.41) (3) 两根平行导线段之间的互感(图3.24)
两根平行导线段长分别是l1(m)和l2(m)，分开距离是D(m)。他们之间的互感为 ??l?l??122l?ln M?2??1?????2???l1?l2?2?D2??D?l?l??12?l?lln??12????l?l???21??l1?l2?2?D2???-7
×10 ?22???l2?l1??D??? ???l1?l2??D2????10?7（H） (3.42) ?l1?l2?2?D2???例10：求两根相距1cm，长分别为50cm和45cm的导线的互感。
解：在式(3.42)中先计算 L1? L2?
?l1?l2?2?D??2.??0.45?0502?0.01?0.95m
?0.051m
2?l2?l1?2?D22.?0.45??0.012?050L3?l1?l2?0.95m
L4?l2?l1?0.05m D 2l1 2l2
图 3.24 平行线段
代入式(3.42) 得到两导线之间的互感为
36
??L3?L1??L3?L4???L?L1??7M?2?2l1?ln?3?Lln????????10 3?D?2???L2?L4?????0.95?0.950.95?0.950.95?0.05???7?0.95ln??10 ?2?2?0.45?ln ?0.010.05?0.0512?? =1.6×106（H）
(4) 两对长l的对称导线之间的互感（图3.25）
b M?4l?ln (3.43)
a－
线圈互感
(5) 两个平行同轴的圆线圈之间的互感（图3.26）
M??r1r2?10?7(H) (3.44) 式中r1和r2－圆线圈半径(m)。ξ－与b/d有关的系数，线段d和b是两个圆周间最大和最小距离： b?a2??r1?r2? d?a2??r1?r2?
22 Ⅱ
b a
Ⅰ 图 3.25 两对导线
b 1.5 r1 d r2 b?b? ??m?n?p?? (3.44a)
??dd a
式中拟合系数m、n和p由表3.3决定（误差在7％以内）。 图3.26 同轴圆线圈
(6) 两个大小相等，平行并同轴边长l1×l2长方线圈，
相距为D之间的互感
实际上,长方框线圈电感是相对边互感之和。邻近边互感大，远离边互感小。又因相对两边电流方向相反，互感相减。两长方框互感
2222??l?l?Dl?D111 M?4?l1?ln?222??D??l1?l1?l2?D表3.3 ζ拟合系数表
范围 0.01`0.1 0.1~0.5 0.5~0.99 m 57.69 32.59 18.04 n 796 153 52.6 p 4439 135.4 34.6 2222??l?l?Dl?D222??l?ln??2?l?l2?l2?D2D??212???? ?????10?7?8l12?l22?D2?l12?D2?l22?D2?D?10?7(H) （3.45）
??如果是正方形，只要将式(3.45)中l1=l2＝l。式（3.45）可大大简化。 (7) 同平面各边彼此平行长方线圈的互感（图3.27）
M??M15?M26?M37?M48?M17?M28?M35?M46??10?7(H) (3.46) 若两长方形同心排列，则M15=M37, M26=M48, M17=M35, M28=M46,因此 M?2?M15?M26?M17?M28??10?7(H) (3.47)
式中各单项互感按式（3.24）计算。
(8) 两个同轴同心的圆柱形单层线圈之间的互感(外线
圈长)(图(3.28))
两个长分别为2ll，2l2(l1 2 6 1 5 7 3 8 4 图3.27 同平面平行框互感 37 圆柱形线圈，其互感为 r12N1N2 M?2?g2?r22r12?l12??－7 ?3?42??×10(H) (3.48) ?1?48g?r1?????式中g?r22?l12，两个线圈之间的耦合系数近似为 r12?l1 k?2 r2l2 2l1 r2 r1 g 3.4.2 磁芯电感 当电感线圈有磁芯时，因磁芯的磁导率比周围空气 的磁导率高得多，磁通被限制在磁路中。即使高磁导率 图3.28 两个单层圆柱线圈 磁芯在磁路中开有气隙，散磁发生在气隙附近，其它部 分散磁较少。一般线圈产生的磁通与全部线圈匝链，即 r1 a r1 ψ＝Nφ。同时iN??R?.R?-整个磁路等效磁阻。根据 式(3.24)电感定义 图3.29 同轴环形多层线圈 如果外边线圈短（l2）而里面线圈长(l1),上式同样适用。 (9) 两个方截面同轴多层圆线圈之间互感（3.29） 两个线圈的匝数分别为N1，N2，平均半径分别为r1，r2，同轴中心相距a。其互感为 2l2 M?N1N2M0 (3.49) 其中M0由式(3.44)决定。 L??N?1??N2?N2G? （3.50） i?R?/NR?磁芯线圈电感存在两种情况。一是磁芯磁导率较低，磁芯一般没有气隙的闭合磁路； 另一类是磁芯磁导率很高，磁路中带有气隙。在以下的讨论中认为磁芯磁导率为常数。非线性问题在以后章节讨论。 A. 低磁导率闭合磁芯电感 低磁导率磁芯做电感一般采用环形。如图3.29(a)所示。磁芯相对磁导率为μr，环的截面积为A。平均磁路长度为l，线圈的电感为 L???A?NBA??N20r?N2G (3.51) ilH/Nl例11: 有一个未知磁导率的环形磁芯，如图3.30（a）所示。内径d=2cm，外径D=4cm， 高h=1cm。为了测量磁芯的相对磁导率，在磁芯上绕40匝线圈.测得电感量为100?H。求磁芯的初始磁导率。 解: 磁路的平均长度为 l??磁芯截面积 (D?d)4?2???3?(cm)或0.03?(m) 2238 D?d4?2－42 h??1?1(cm2)或10(m) 22根据式(3.51)可得相对磁导率 A?Ll100?10?6?0.03???47 ?r?2NS?0402?10?4?4??10?7 N A l d D － 在上述计算中，尺寸用m，?0=4?×107(H/m),如果用 h (a) － cm，则 ?0=0.4?×108 (H/cm)。 B. 带有气隙高磁导率磁芯电感 如果图3.31(a)的环的材料磁导率很高，环上开有一个气隙δ。则开气隙的等效磁路如图3.31(b)所示。线圈的电感为 1 L?N2 Rc?R?式中Rc? φ NI R (b)等效磁路 图 3.30 环形磁芯电感 lc??lc??,R??.如果Rc< 式中Gδ－考虑边缘散磁的气隙磁导。 例12：E型磁芯尺寸如例5，只有中柱开气隙δ＝3mm，线圈绕在中柱上，共25匝，求线 圈电感量。 解：由例4得到中柱的气隙磁导 Gδ= =0.3062×10-6(H) N Ac 气隙磁阻为 11-16??3.27?10 R??(H) lc G?0.3062?10?6 由例5得到磁芯中总磁阻为 Rc?2R1?R2?R3 =(2×2.045+3.91+3.3)×104(H-1)=11.3×104 (H-1) 线圈的电感 1L?N2Rc?R? δ (a) φ Rc F=Ni Rδ (b) 图3.31 带气隙磁路 ?2521?10?6?0185.?10?3(H)3.27?0113. 在本题中，磁芯磁阻与气隙磁阻比较，气隙磁阻远远 大于磁芯的磁阻。如果不考虑磁芯磁阻，电感计算如下 1?N2G??252?0.3062?10?6 L?N2R? =0.191×103（H） － 39 如果不考虑边缘磁通，也不考虑磁芯磁阻时的电感 ?0A2.7?198.?252?4???10?7?10?2 ?0.3 =0.1336×10-3(H) 从以上计算结果可以看出，当磁芯磁导率很高时，忽略磁芯磁阻对电感影响不大。但如果忽略气隙的边缘磁导，则会带来非常大的误差。 L?N2本章要点： ? 磁场的计算可简化为路的计算，尤其是带有高磁导率磁芯的磁通路。可使场的问题变 为我们熟知的路问题来分析。但磁路与电路只是形式上相似，磁阻与电阻不同，磁阻中没有象电路里确实有电子流流动的物质，它不消耗能量。 ? 磁场没有“绝缘”体，只能将其短路。磁路周围的空气可能是磁路的一部分，散磁和 漏磁(变压器)总是存在的。精确计算是困难的。通常采用经验公式计算。 ? 要分析散磁或漏磁，应当考虑激磁磁势在磁路中位置和分布情况。必要时，应作出磁 位图。有磁位差，就可能有磁通路径。磁位差越大，磁通分流就越大。 ? 磁芯气隙是磁路的一部分。气隙附近存在边缘磁通，气隙越大，边缘磁通影响越大。 工程上，可采用近似计算。 ? 无磁芯的线圈电感或互感的计算采用经验公式。误差一般在10％之内。 ? 带有磁芯的电感计算主要是磁路磁阻或磁导的计算。有气隙时，必须考虑边缘磁导的 影响。 40