数列求和及其综合应用
1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1) 2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握． － 1、 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n1·(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝________. An7n＋5a72.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________ Bnn＋3b7 a2n＋1 3.若数列{an}满足2＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．则“数列{an} an是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 4.已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x－2y＋1＝0平行，若数列 ?1???的前n项和为Sn，则S2 012＝________. ?f?n?? 5、已知公差不为零的等差数列{an}中a1＝2，设a1、a3、a7是公比为q的等比数列{bn}的前三项． (1) 求数列{anbn}的前n项和Tn； (2) 将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和 －－ 为Sn，求S2n－n－1－22n1＋3·2n1的值． 14 6、已知等差数列{an}满足a3＋a6＝－，a1·a8＝－，a1＞a8， 33 (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 把数列{an}的第1项、第4项、第7项、?、第3n－2项、?分别作为数列{bn}的第1项、第2项、第3项、?、第n项、?，求数列{2bn}的前n项之和； (3) 设数列{cn}的通项为cn＝n·2bn，比较(n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2与2n(n＋2)cn＋1的大小． 7、设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn. － (1) 证明：当b＝2时，{an－n·2n1}是等比数列； (2) 求{an}的通项公式． 1 8、已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a4＝81， (1) 求数列{an}的前三项a1，a2，a3； (2) 求证：数列? 9、已知数列{an}和{bn}满足：a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝anan＋1(n∈N*)，且{bn}是以q为公比的等比数列． (1) 证明：an＋2＝anq2； (2) 若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列； 111111 (3) 求和：＋＋＋＋?＋＋. a1a2a3a4a2n－1a2n 10、将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ? 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，?构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1. Sn为数列{bn}的前n项和，且满足 2bn＝1(n≥2)． bnSn－S2n ?an－1? n?为等差数列，并求an. ?2? ?1? (1) 证明数列?S?成等差数列，并求数列{bn}的通项公式； ? n? (2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同4 一个正数，当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和． 91 12、已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 设bn＝整数m. 13、已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________. 3m ，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正 20anan＋1 2 x 14、设函数f(x)＝(x>0)，观察： x＋2 f1(x)＝f(x)＝ xxx，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝， x＋23x＋47x＋8x ，? 15x＋16 f4(x)＝f(f3(x))＝ 根据以上事实，由归纳推理可得： ＋ 当n∈N且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 15、函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． a??2n，当an为偶数时， 16、已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝?若a6＝1，则 ??3an＋1，当an为奇数时.m所有可能的取值为________. 17、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. (1) 证明：{an－1}是等比数列； 5151 (2) 求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1>Sn成立的最小正整数n.15<，14> 61561518、设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝an＋1Sn(n∈N*)． (1) 若a1，S2，－2a2成等比数列，求S2和a3； 4 (2) 求证：对k≥3且k∈N*有0≤ak＋1≤ak≤. 3 bn19、数列{an}、{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn＝(n∈N*)． an(1) 数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论； Snn (2) 设数列{lnan}、{lnbn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a1＝2，＝，求数列{cn}的前n Tn2n＋1项和． 5x2y2 20、两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是6，且a＞b，则双曲线2－2＝1的离 2ab心率e等于________． 21、在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列． (1) 写出这个命题的逆命题； (2) 判断逆命题是否为真？并给出证明． 3 数列求和及其综合应用 1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1) 2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握． － 1、 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n1·(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝________. －15 解析：a1＋a2＝a3＋a4＝?＝a9＋a10＝－3，a1＋a2＋?＋a10＝5×(－3)＝－15. An7n＋5a72.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________.2. Bnn＋3b7 a7a1＋a13A137×13＋5 6 解析：＝＝＝＝6. b7b1＋b13B1313＋3 a2n＋1 3.若数列{an}满足2＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．则“数列{an} an是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 3. 必要不充分 4.已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x－2y＋1＝0平行，若数列 ?1???的前n项和为Sn，则S2 012＝________. ?f?n?? 4. 12 012 1－?＋ 解析：f′(x)＝2x＋b,2＋b＝3，b＝1，f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，Sn＝??2?2 013 ?1－1?＋?＋?1－1?＝n. ?23??nn＋1?n＋1 5、已知公差不为零的等差数列{an}中a1＝2，设a1、a3、a7是公比为q的等比数列{bn}的前三项． (1) 求数列{anbn}的前n项和Tn； (2) 将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和 －－ 为Sn，求S2n－n－1－22n1＋3·2n1的值． 解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，则(2＋2d)2＝2×(2＋6d)，又d≠0，∴ d＝1，an ＋ ＝n＋1，bn＝2n，anbn＝(n＋1)·2n，用错位相减法可求得Tn＝n·2n1. (2) ∵ 新的数列{cn}的前2n－n－1项和为数列{an}的前2n－1项的和减去数列{bn}前n项的和， ?2n－1??2＋2n?2?2n－1?－ ∴ S2n－n－1＝－＝(2n－1)(2n1－1)． 22－1∴ S2n－n－1－22n1＋3·2n1＝1. － － 14 6、已知等差数列{an}满足a3＋a6＝－，a1·a8＝－，a1＞a8， 33 (1) 求数列{an}的通项公式； 4 (2) 把数列{an}的第1项、第4项、第7项、?、第3n－2项、?分别作为数列{bn}的第1项、第2项、第3项、?、第n项、?，求数列{2bn}的前n项之和； (3) 设数列{cn}的通项为cn＝n·2bn，试比较(n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2与2n(n＋2)cn＋1 的大小． 14 解： (1) {an}为等差数列，a3＋a6＝a1＋a8＝－，又a1·a8＝－，且a1＞a8，求得a1＝1， 33a8－a141 a8＝－，公差d＝＝－， 338－1 114 ∴ an＝1－(n－1)＝－n＋(n∈N*)． 333 14 (2) b1＝a1＝1，b2＝a4＝0, ∴ bn＝a3n－2＝－(3n－2)＋＝－n＋2， 332bn＋12?n1?211 ∴ ＝－n＋2＝， ∴ {2bn}是首项为2，公比为的等比数列， 2bn222 － ＋ ＋ ?1?n?2?1－??2??1?n－2∴ {2bn}的前n项之和为＝4－??2?. 1 1－2 (3) cn＝n·2bn， ∴ (n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2－2n(n＋2)cn＋1 ＝n(n＋1)(n＋2)2bn＋n(n＋1)(n＋2)·2bn＋2－2n(n＋1)(n＋2)·2bn＋1 ＝n(n＋1)(n＋2)(2bn＋2bn＋2－2×2bn＋1) ＝n(n＋1)(n＋2)2bn(1＋2bn＋2－bn－2×2bn＋1－bn) －－ ＝n(n＋1)(n＋2)·2bn(1＋22－2×21) 1 ＝n(n＋1)(n＋2)2bn(1＋－1)＞0， 4 其中bn＋2－bn＝－(n＋2)＋2－(－n＋2)＝－2，bn＋1－bn＝－(n＋1)＋2－(－n＋2)＝－1，∴ (n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2＞2n(n＋2)cn＋1. 7、设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn. － (1) 证明：当b＝2时，{an－n·2n1}是等比数列； (2) 求{an}的通项公式． ＋ 解：由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n1＝(b－1)Sn＋1， 两式相减得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，即an＋1＝ban＋2n.① (1) 当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n － 于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n1)， 又a1－1·2 1－1 ＝1≠0, ∴ an－n·2 n－1 an＋1－?n＋1?·2n ≠0, ∴ ＝2， － an－n·2n1∴ {an－n·2n1}是首项为1，公比为2的等比数列． －－－ (2) 当b＝2时，由(1)知an－n·2n1＝2n1，即an＝(n＋1)2n1， － 11n＋11bn?＋ 2n?. 当b≠2时，由①得an＋1－·2＝ban＋2n－·2n1＝ban－·2＝ban－2－b· ??2－b2－b2－b12?1－b?11＋ 2n?，又a1－因此an＋1－·2n1＝b?an－2－b·×2＝， ??2－b2－b2－b 5