解析 本题转化为用几何概型求概率的问题．根据程序框图知，如果点在圆x＋y2
2
＝1内，m就和1相加一次；现输入N为1 000，m起始值为0，输出结果为788，说明m相加了788次，也就是说有788个点在圆x2＋y2＝1内．设圆的面积为S1，正方形的面积为S2，则概率P＝＝
S1π788
，∴π＝4P＝4×＝3.152. S241 000
【答案】 3.152
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图所示的算法中，令a＝tan θ，b＝sin θ，c＝
??
cos θ，若在集合?θ
??
?－π?4
3πππ
＜θ＜，θ≠0，，
442
??
?中，给θ??
取一个值，输出的结果是sin θ，求θ值所在的范围．
解析 由框图知，输出的a是a、b、c中最大的．由此可知，sin θ＞cos θ，sin θ＞tan θ.又θ在集合
?
?θ?
| －＜θ＜
π4
3πππ?
，θ≠0，，?中，∴θ值所在的范围为442?
?π，3π?.
?24?
18．(12分)(2011·江西七校联考)为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(成绩均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，?，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题．
6
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．
解析 (1)设第i组的频率为fi(i＝1,2,3,4,5,6)，因为这六组的频率和等于1，故第四组的频率：
f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.
频率分布直方图如图所示．
(2)由题意知，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，抽样学生成绩的及格率是75%.故估计这次考试的及格率为75%.利用组中值估算抽样学生的平均分：
45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.从而估计这次考试的平均分是71分．
19．(12分)国庆期间，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： ①若不超过200元，则不予优惠；
②若超过200元，但不超过500元，则按所标的价格给予9折优惠；
③如果超过500元，500元的部分按②优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 设计一个收款的算法，并画出程序框图．
解析 依题意，付款总额y与标价x之间的关系式为(单位为元)：y＝
xx≤200，??
?0.9x200＜x≤500，??0.9×500＋0.7×x－500x＞500.
算法：
第一步，输入x值．
第二步，判断，如果x≤200，则输出x，结束算法；否则执行第三步．
第三步，判断，如果x≤500成立，则计算y＝0.9x，并输出y，结束算法；否则执行第四步．
第四步，计算：y＝0.9×500＋0.7×(x－500)，并输出y，结束算法．
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程序框图：
20.(12分)如图所示的是为了解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框的内容及图框之间的关系，回答下列问题：
(1)该程序框图解决的是怎样的一个问题？
(2)当输入2时，输出的值为3，当输入－3时，输出的值为－2，求当输入5时，输出的值为多少？
(3)在(2)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大？为什么？
(4)在(2)的前提下，当输入的x值为多大时，可使得输出的ax＋b结果等于0? 解析 (1)该程序框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值问题，其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
??2a＋b＝3， ①(2)由已知得?
?－3a＋b＝－2， ②?
由①②，得a＝1，b＝1.f(x)＝x＋1， 当x输入5时，输出的值为f(5)＝5＋1＝6. (3)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大． 因为f(x)＝x＋1是R上的增函数． (4)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1， 因而当输入的x为－1时， 输出的函数值为0.
21．(12分)(2011·东北三校一模)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)
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(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成下列2×2列联表：
50岁以下 50岁以上 总计 主食蔬菜 主食肉类 总计 (3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．
nad－bc2
附：K＝. a＋bc＋da＋cb＋d2
P(K2≥k0) k0 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 解析 (1)在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．
(2)2×2列联表如下：
50岁以下 50岁以上 总计 2
主食蔬菜 4 16 20 主食肉类 8 2 10 总计 12 18 30 30×8－128230×120×120(3)因为K＝＝＝10>6.635，所以有99%的把握认为其
12×18×20×1012×18×20×10亲属的饮食习惯与年龄有关．
22．(12分)对任意函数f(x)，x∈D，可按如图构造一个数列发生器，其工作原理如下：
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①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f(x0)；
②若x1?D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f(x1)，并依此规律继续下去．
现定义f(x)＝
4x－2
. x＋1
49
(1)输入x0＝，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn}的所有项；
65(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值． 解析 (1)函数f(x)＝
4x－2
的定义域为 x＋1
D＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
49
∴输入x0＝时，数列{xn}只有三项：
65
x1＝，x2＝，x3＝－1.
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列， 则f(x)＝
4x－2
＝x有解， x＋1
111915
整理得，x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2.
x0＝1时，xn＋1＝x0＝2时，xn＋1＝4xn－2
＝xn，即xn＝1； xn＋1
4xn－2
＝xn，即xn＝2. xn＋1
∴x0＝1或x0＝2.
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