绍兴一中2015学年第一学期期末考试
高二数学
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为32的直线方程为（ ▲ ）
A．x-y+8=0或x-y-1=0 B．x+y+8=0或x+y-1=0
C．x+y-3=0或x+y+3=0 D．x+y-3=0或x+y+9=0
2.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ▲ ）
A.202? B．252?
C．50π
D．200π
3.设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ▲ ） A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β C．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α
24.若直线y=x+m与曲线1?y=x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（ ▲ ）
A.(?2,2) B.(?2,?1] C.(?2,1] D.[1,2)
5.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ▲ ） A．4
B．
2026 C． D．8 33
6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确 （ ▲ ）
①.ED⊥平面ACD ②.CD⊥平面BED ③.BD⊥平面ACD ④.AD⊥平面BED A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
?x2y2a27.点P(-3，1)在椭圆2?2?1(a＞b＞0)的左准线(x??)上．过点P且方向为a=
abc（2，-5）的光线，经直线y =﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（▲） A．
1132 B． C． D．
3232 1
8.已知点A(﹣2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ▲ ） A．(0,2?2) B．(2?2,1)
C． (2?2,] D．[,1)2323
二、填空题（每小题3分，其中第9,15题各4分，共23分） 9.直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标中四边形ABCD为 ▲ ，面积为 ▲ cm．
10.李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm的钢管，为了便于携带，他将三根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为 ▲ cm．
2
x2y2??1内有一点P(2，1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 11.椭圆E：
164▲ ．
12.四面体的棱长中，有两条为2、3，其余的全为1，它的体积是 ▲ ． 13.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为27和43，M、N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题： ①弦AB、CD可能相交于点M； ②弦AB、CD可能相交于点N； ③MN的最大值是5； ④MN的最小值是1； 其中所有正确命题的序号为 ▲ ．
14.设圆C：x2+y2=3，直线l：x+3y﹣6=0，点P（x0，y0）∈l，存在点Q∈C，使∠OPQ=60°（O为坐标原点），则x0的取值范围是 ▲ ．
15.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=25的点P的个数为 ▲ ；
若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共5题，共53分）
16.（本题满分8分）如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱． （1）试用x表示圆柱的侧面积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大．
2
17.（本题满分9分）已知圆C:x2?(y?1)2?5，直线l:mx?y?1?m?0
（1）求证：对m?R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B； （2）求弦AB的中点M的轨迹方程. 18.（本题满分10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点． （1）证明：CD⊥AE；
（2）证明：PD⊥平面ABE；
（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．
19.（本题满分12分）已知圆M:x?(y?4)?4，点P是直线l:x?2y?0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；
（2）若?PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由． （3）求线段AB长度的最小值．
22 3
x2y2??120.（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0,y0)是椭圆
2412上的一点，从原点O向圆R:(x?x0)2?(y?y0)2?8作两条切线，分别交椭圆于点P,Q. (1)若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1,k2，求证2k1k2?1?0； (3)试问OP2?OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
y Q R P O x 4
绍兴一中2015学年第一学期期末考试
高二数学答案
一、选择题（每小题3分，共24分） 1 D 2 C 3 B 4 B 5 B 6 A 7 A 8 B 二、填空题（每小题3分，其中第9,15题各4分，共23分） 9.矩形 8 10. 30+10π 11. x+2y﹣4=0 12.
62 13. ①③④ 14.[0,]
51215.12 （23，25）16.（1）S圆柱侧=2?rx?2?(2?)x?4?x?x32?2x,x?(0,6)3…………………4分
（2）由（1）知当x??4??3时，这个二次函数有最大值为6π， 2?2(?)32
∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm…………………………8分
2217. （1）解法一：圆C:x?(y?1)?5的圆心为C(0,1)，半径为5。
∴圆心C到直线l:mx?y?1?m?0的距离d?|?m|m2?1?|m|1∴直线l与圆??5，
|2m|2C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；
方法二：∵直线l:mx?y?1?m?0过定点P(1,1)，而点P(1,1)在圆内∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；………………………………………………4分 （2）当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM?MP，又因为
|CM|2?|MP|2?|CP|2,
设M(x,y)(x?1)，则x?(y?1)?(x?1)?(y?1)?1，
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