化简得：x2?y2?x?2y?1?0(x?1)………………………………………………7分 当M与P重合时，x?1,y?1也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是x2?y2?x?2y?1?0。……………………………………9分 18.（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD， 又AC⊥CD，AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，
∴CD⊥AE；…………………………………………………………………………3分 （2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD∴PA⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩PA=A
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD∴AB⊥PD， 由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形． ∴AC=AB∴PA=PC
∵E是PC中点∴AE⊥PC
由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD ∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE；…………………………………………………………………6分 （3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM， 由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD， 则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，
则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角． 设AC=a，AD=
=
，PA=A，PD=
=
a，
AM===，
在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，
则tan∠AME===．………………………………………………10分
6
或直接建立空间直角坐标系求解，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，设AC=a,则A（0,0,0），P(0,0,a),D(0,19.（1）由题意知，圆M的半径r?2，设P(2b,b)， ∵PA是圆M的一条切线，∴?MAP?900， ∴|MP|?a3a23
,0)。 a,0),C(,223
(0?2b)2?(4?b)2?AM2?AP2?4，解得b?0,b?8， 5∴P(0,0)或P(168,)．…………………………………………………………4分 550（2）设P(2b,b)，∵?MAP?90，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，
b?424b2?(b?4)2)?其方程为(x?b)?(y?， 242即(2x?y?4)b?(x2?y2?4y)?0，
8?x??x?0??2x?y?4?0?5由?2，解得或， ??2?y?4?y?4?x?y?4y?0?5?∴圆过定点(0,4)，(,)．……………………………………………………8分
8455b?424b2?(b?4)2)?（3）因为圆N方程为(x?b)?(y?， 242即x?y?2bx?(b?4)y?4b?0，
圆M：x?(y?4)?4，即x?y?8y?12?0，
②-①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx?(b?4)y?12?4b?0， 点M到直线AB的距离d?22222245b?8b?1622，
相交弦长即：AB?24?d?41?44?41?， 24645b?8b?165(b?)2?55当b?4时，AB有最小值11．……………………………………………………12分 57
20.（1）由圆R的方程知圆R的半径r=22,|OR|=2r=4，即x0?y0?16①，又点R
22?x0y0?x0??22在椭圆上，所以，所以圆R的方程为??1②，联立①②，解得?2412??y0??2222(x0?22)2?(y0?22)2?8………………………………………………4分
（2）因为直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x都与圆R相切， 所以
|k1x0?y0|1?k221?22，
|k2x0?y0|1?k222?22………………………………5分
222化简得(x0?8)k12?2x0y0k1?y0?8?0，(x0?8)k2?2x0y0k2?y0?8?0，所以
k1，k2是方程(x0?8)k2?2x0y0k?y0?8?0的两个不相等的实数根，由韦达定理得，
2xyy0?8122k1k2=2.因为点R在椭圆上，所以 0?0?1，即y0?12?x0，所以
22412x0?8222212x012??k1k2=，即2k1k2?1?0.…………………………………………9分 22x0?84?（3）当直线OP、OQ落在坐标轴上时，有OP2?OQ2=36；……………………10分 当直线OP、OQ落在坐标轴上时，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，因为2k1k2?1?0，所以
2y1y212222?1?0，故y1y2?x1x2………………………………………………11分
4x1x2xyxy因为P(x1,y1)，Q(x2,y2)在椭圆上，所以1?1?1，2?2?1，即
24122412y1?12?22222x1?x222121212121222x1，y2?12?x2，所以(12?x1)(12?x2)?x1x2，整理得22224121222?24，所以y1?y2?(12?x1)?(12?x2)?12，所以OP2?OQ2=36.
2222综上，OP?OQ=36.………………………………………………………………14分
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