§1.2 命题及充要条件
2014高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充要条件．
复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．
1． 命题的定义
能够判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题． 2． 四种命题及相互关系
原命题是真命题，则它的逆否命题是真命题． 3． 充分条件与必要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，且q?p，则p是q的充要条件． [难点正本 疑点清源] 1． 等价命题和等价转化
(1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假；
(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 2． 集合与充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
(1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件．
1． 下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③
解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题． 11
2． “x>2”是“<”的________条件．
x2
答案 充分不必要
x211
解析 ①x>2?2x>0?>?<，
2x2xx211
∴“x>2”是“<”的充分条件．
x211
②2D?/x>2. x2
11
∴“x>2”是“<”的不必要条件．
x2
a＋b
3． 已知a，b∈R，则“a＝b”是“＝ab”的____________条件．
2
答案 必要不充分
a＋ba＋b
解析 因为若a＝b<0，则≠ab，所以充分性不成立；反之，因为＝ab?a＝
22a＋b
b?a＝b≥0，所以必要性成立，故“a＝b”是“＝ab”的必要不充分条件．
24． (2011·天津改编)设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则
“x∈A∪B”是“x∈C”的______________条件． 答案 充要
解析 因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)， B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，
所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)， C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2} ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．
即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
5． (2012·天津改编)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的
______________条件． 答案 充分不必要
解析 若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数， 但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．
故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件.
题型一 四种命题及真假判断
例1 已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正
确的是________．(填序号)
①否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题； ②逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题； ③逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题； ④逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题． 思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断． 答案 ④
解析 命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题． 探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．
有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题的序号为________． 答案 ①③
解析 ①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等
的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假． 题型二 充要条件的判断
例2 若f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0，x∈R)，f(－1)＝0，则“b<－2a”是“f(2)<0成立”的什么
条件．
思维启迪：由f(－1)＝0，得a－b＋c＝0.
下面只要判定“b<－2a”是“4a＋2b＋c<0”成立的什么条件． 解 “b<－2a”是“f(2)<0成立”的充分不必要条件． 证明如下：
∵f(－1)＝0，∴a－b＋c＝0，
∴c＝b－a，∴f(2)＝4a＋2b＋c＝3a＋3b. 若b<－2a，
则f(2)＝3a＋3b<3a＋3×(－2a) ＝－3a<0 (a>0)．
反之，若f(2)＝4a＋2b＋c＝3a＋3b<0，则b<－a. ∵a>0，∴推不出b<－2a.
故“b<－2a”是“f(2)<0成立”的充分不必要条件．
探究提高 判断p是q的什么条件，需要从两方面进行分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件． 其中真命题的序号是________． ．答案 ①④
解析 对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列 {anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的
两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不bsin B1
正确；对于④，由题意得＝＝3，若B＝60°，则sin A＝，注意到b>a，故A＝30°，
asin A2反之，当A＝30°时，有sin B＝上所述，真命题的序号是①④. 题型三 利用充要条件求参数
例3 已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5 解 设A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋3 从而有A?B.故? ?a＋3>5，? 3 ，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综2 解得a>4. 等价转化思想在充要条件关系中的应用 x－1?典例：(14分)已知p：?1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，且綈p是綈q的必要而 3?? 不充分条件，求实数m的取值范围． 审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简． (2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论．