解析：依题意得商品和服务评价的2×2列联表（特殊） 商品好评 商品差评 合计 2服务好评 80 70 150 服务差评 40 10 50 合计 120 80 200 200?(800?2800)2100K???10.8有99.9%把握
7500?96009每次购物对商品和服务都好评的概率为80/200=2/5
236随机变量X~B(5,2/5)，因此EX?np?2，DX?np(1?p)?5???
55531234525P(X?0)?C50()5 P(X?1)?C5() P(X?5)?C5()
5555232332332P(X?2)?C52()2()3 P(X?3)?C5()() P(X?4)?C54()4
555555分布列略
19、如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AB⊥CD,AB=2AD=2CD=2，E为PB的中点. （1）求证：平面EAC⊥平面PBC； （2）若二面角P-AC-E的余弦值为1/3， 求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。 解析：（1）PC⊥底面ABCD上的AC边
直角梯形ABCD中AC?BC?2,AB?2?AC?BC 综上，AC⊥平面PBC，故经过AC的平面EAC⊥平面PBC （2）以C为原点建系，设CD为x轴，CP为z轴，且CP=a，则
11aP(0,0,a),B(?1,1,0),E(?,,),A(1,1,0)
222由（1）知BC是平面PAC的一个法向量 设平面EAC的法向量为m，则
?m?EC?0?x?y?az2 解得m?(1,?1,) ???a?m?AC?0?x?y?0 6
cos?BC,m??222?4/a2?1，解得a=1，则PA?(1,1,?1),m?(1,?1,2) 3|cos?PA,m?|?22即为所求夹角正弦 ?332?420、已知抛物线x2?2py,p?0，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于M,N两点，且MN=16。 （1）求抛物线的标准方程；
（2）已知动圆P的圆心在抛物线上，且过定点D(0,4)，若动圆P与x轴交于A,B两点，且DA 2设P(x0,y0),A(x1,0),B(x2,0)，则x0?8y0 2圆的方程(x?x0)2?(y?y0)2?x0?(4?y0)2 2p??16,???p?4 sin2?4令y=0，整理得(x?x0)2?16 解得x1?x0?4,x2?x0?4 (x0?4)2?1616x0DA??1? 2DB(x0?4)2?16x0?8x0?32依题意知x0?0（圆心不在原点），故x0?32时比值取最小值3?22?2?1 21、已知函数f(x)?(x2?3x?3)ex,且t??2 （1）试确定t的取值范围，使得函数在[?2,t]上单调； （2）求证：?t??2总存在x0?(?2,t)满足 f'(x0)2?(t?1)2，并确定这样的x0的个数。 x0e3解析：（1）f'(x)?(x2?3x?3?2x?3)ex?(x2?x)ex 单调区间(??,0)?,(0,1)?,(1,??)? 因此t?(?2,0]，函数在[?2,t]上单调递减 2?x0?（2）化简不等式得x022(t?1)2，令g(x)?x2?x?(t?1)2 33 7 即讨论函数g(x)在区间(?2,t)上零点个数 21注意g(?2)??(t?2)(t?4)，g(t)?(t?2)(t?1) 33当t?(?2,1)U(4,??)时g(?2)g(t)?0，故g(x)有唯一零点 以下考查区间端点： 当t=1时g(x)?x2?x，x=0或x=1，区间(?2,t)上只有一个零点x=0 当t=4时g(x)?x2?x?6，x=-2或x=3，区间(?2,4)上只有一个零点x=3 注意：当1?t?4时，g(?2)?0,g(t)?0且g(0)?0，故有两个零点 综上，?t??2总存在x0?(?2,t)满足 f'(x0)2?(t?1)2， x0e3且当t?(?2,1]U[4,??)时，有唯一的x0；当1?t?4时，有两个x0 23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程 ?x?1?cos?在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?，以O为极点，x正半轴为极轴建立极 ?y?sin?坐标系。 （1）求圆C的极坐标方程； ??（2）直线的极坐标方程是2?sin(??)?33，射线OM：??与圆C的交点为O,P，与直 33线的交点为Q，求线段PQ的长. 解析：首先转化为直角方程(x?1)2?y2?1 典型圆的极坐标方程为??2cos? ?联立射线与直线得Q(3,) 3?联立射线与圆解得P(1,) 3因此PQ＝2 8