§8.圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
PF1?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段221. 椭圆方程的第一定义：PF1PF1
⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa?22yb?22?1(a?b?0)22.
.
ii. 中心在原点，焦点在y轴上：yaxb?1(a?b?0)②一般方程：Ax2?By2?1(A?0,B?0).
xa22③椭圆的标准方程：
?yb22?1的参数方程为??x?acos??y?bsin?（一象限?应是属于0????2）.
⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).
②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤准线：x??a2c或y??a2c.
⑥离心率：e?⑦焦点半径：
ca(0?e?1).
i. 设P(x0,y0)为椭圆ii.设P(x0,y0)为椭圆
xaxb2222?yb2222?1(a?b?0)上的一点，F1,F?1(a?b?0)上的一点，F1,Fa22为左、右焦点，则 PF1?a?ex0,PF22?a?ex0??a?ey0??ya2为上、下焦点，则 PF1?a?ey0,PF2由椭圆第二定义可知：pF1?e(x0?c)?a?ex0(x0?0),pF2?e(ac?x0)?ex0?a(x0?0)归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆
xa22?2ba22(?c,b2a)和(c,b2a)
(c?a?b)22xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率是e?ca，方程
?yb22?t(t是大于
xa220的参数，a?b?0)的离心率也是eyb22?ca 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
?2⑸若P是椭圆：余弦定理与PFb?cot2??1上的点.F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积为b2tan可得）. 若
PF1?PF2,2（用
1?PF2?2a此三角形面积为b； 若是双曲线，则面积为
?2.
x224．在椭圆a[22?yb22?1(a?b?0)上存在点P，使
PF1?PF2的条件是c≥b,即椭圆的离心率e的范围
,1)是；
5．椭圆的的内外部
x22(1)点
P(x0,y0)在椭圆ax?ybyb22?1(a?b?0)?x0a22?y0b2的内部
?1(a?b?0)?2?1. ?12222(2)点
P(x0,y0)在椭圆a?x0a22?y0b2的外部
2.
6．椭圆的切线方程
x22(1)椭圆a?yb22?1(a?b?0)x0x上一点
yb2222P(x0,y0)处的切线方程是a2?y0yb2?1.
x0x?y0yb2x22(2)过椭圆ax22??1(a?b?0)外一点
?1(a?b?0)P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是a2?1.
(3)椭圆a?yb22222与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
二、双曲线方程.
PF111▲y(bcos?,bsin?)(acos?,asin?)?PF?PF?PF22222?2a?F1F?2a?F1F?2a?F1F222方程为双曲线无轨迹以F1,F2的一个端点的一条射线1. 双曲线的第一定义：
PFPF Nx⑴①双曲线标准方程：
xa22?yb?1(a,b?0),ya22?xb22?1(a,b?0).
N的轨迹是椭圆一般方程：Ax2?Cy2?1(AC?0).
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程xii. 焦点在y轴上：
y顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：
??a2??a2c 渐近线方程：
xa?yb?0或
xa22?yb22?0
c. 渐近线方程：ya?xb?0或
ya22?xb22?0，
参数方程：??x?asec??y?btan?或??x?btan??y?asec? .
②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?ca.
④准线距
2ac2（两准线的距离）；通径
ca2ba2.
⑤参数关系c2?a2?b2,e?.
xa22⑥焦点半径公式：对于双曲线方程
?yb22?1
（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
MFMF12?ex0?a?ex0?a12 构成满足MF1?a00?MF2?2a
M?F1??ex0?aM?F2??ex0?aM'▲ yM▲yMFMF?ey?eyF1Mxx?a0M?FM?F1??ey??ey???a?a
F1F2M'F220⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.
xa22?yb22??与
xa22?yb22???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
xa22xa22?yb22?0.
⑸共渐近线的双曲线系方程：
xa?yb?yb22??(??0)xa22的渐近线方程为
.
xa22?yb22?0如果双曲线的渐近线为
▲?0时，它的双曲线方程可设为
?yb22??(??0)y例如：若双曲线一条渐近线为y解：令双曲线的方程为：
x2?212x且过p(3,?124)3，求双曲线的方程？
12)21x4?y??(??0)，代入(3,?得
x28?y22?1.
F153F2⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
3小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
“?”法与渐近线求2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入
交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线
xa22?yb22?1，则常用结论
1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
PF12：P到焦点的距离为m、n，则P到两准线的距离比为m︰n. 简证：
d1d2?ePFe2 =
mn.
x223．双曲线a?yb22?1(a?0,b?0)的焦半径公式
a2PF1?|e(x?c)|，
PF2?|e(a2c?x)|.
4．双曲线的内外部
x22(1)点
P(x0,y0)在双曲线ax?ybyb22?1(a?0,b?0)?x0a22?y0b2的内部
?1(a?0,b?0)?2?1. ?12222(2)点
P(x0,y0)在双曲线a?x0a22?y0b2的外部
2.
5．双曲线的方程与渐近线方程的关系
x22(1)若双曲线方程为a?ybba22?1x2?渐近线方程：a2x?yb?0?yb22?0?y??bax.
(2)若渐近线方程为
x22y??xx2?a?双曲线可设为a2?yb22??.
(3)若双曲线与a?yb22?1x22有公共渐近线，可设为a?yb22????0，（??0，焦点在x轴上，
焦点在y轴上）.
6．双曲线的切线方程
x22(1)双曲线a?yb22?1(a?0,b?0)x0x上一点
yb22P(x0,y0)处的切线方程是a2?y0yb2?1.
x22(2)过双曲线ax0xa2??1(a?0,b?0)外一点
P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
?y0yb2?1. ?yb22x22(3双曲线a?1(a?0,b?0)22222与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
7．焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b值）
三、抛物线方程.
3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： y?2px2 y??2px2 x2?2py x??2py2
图形 ▲y▲y▲y▲yxOxOxOOx 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 F(p2,0)p2 F(?p2p2,0) F(0,p2) F(0,?p2p2) xx??x? y??p2y? x?0,y?Rx?0,y?Rx?R,y?0 yx?R,y?0 轴 e?1 轴 （0，0） p2p2p2p2PF??x1 4ac?b4a2PF?b2a?x1 PF??y1 PF??y1 注：①ay?by?c?x顶点(2?).
P2②y2?2px(p?0)则焦点半径
PF?x?;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P2.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④
?x?2pt2y?2px（或x?2py）的参数方程为??y?2pt22（或??x?2pt?y?2pt2）（t为参数）.
5、过焦点弦长6、设点方法：
2CD?x1?p2?x2?p2?x1?x2?p.
对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。
2抛物线
y?2px上的动点可设为P2p(y0,y0)或
P(2pt,2pt)或2 P
(x?,y?)，其中
y0?2px02.
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0?e?1时，轨迹为椭圆；当e?1时，轨迹为抛物线；当e?1时，轨迹为双曲线；当e?0时，轨迹
为圆（e?ca，当c?0,a?b时）.
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可. 注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆
双曲线 抛物线 1．到两定点F1,F2的距离之和为定1．到两定点F1,F2的距离之差的值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的