考单招——上高职单招网 ⑴求证：函数f?x?为偶函数； ⑵讨论函数f?x?的单调性；
⑶求不等式f?x??f?x?3??2的解集 *22(理科学生做) （本小题满分14）设函数f?x?的定义域是R，对于任意实数m，n，
恒有
f?m?n??f?m?f?n?，且当x?0时,0?f?x??1.
（1）求证：f?0??1 ，且当x?0时,有f?x??1； （2）判断函数f?x?在R上的单调性；
（3）设集合A??x,y?fx2fy2?f?1?，集合
???????x,y?f?ax?y?2??1,a?R?，若A?B??，求实数a的取值范围 B??
参考答案
一选择题： DC(D)B?BD B(A)BBA(D)A DD(D)
二填空题：（13）0，2 （14）（0，0），（1，1）
考单招——上高职单招网 332（15）（文科）??， ?2，（理科）
2（16）（文科）（0，1]，（理科）2，5??5，?2 三解答题：
?????? 17a＝－2
18（1）f?x??log2xg?x???x2?2x?3
（2）定义域为（－1，3） 值域为（－∞,2] 19使用10年最合算
20解：⑴由题意，f?0??g?0?，|a|?1又a?0，所以a?1 ⑵f?x??g?x??|x?1|?x2?2x?1
当x?1时，f?x??g?x??x2?3x，它在?1,???上单调递增； 当x?1时，f?x??g?x??x2?x?2，它在??1,1?上单调递增 221（文科）（1）由题知，点?2，?2k?在y?f?x?图象上，??2k?9?k，k??3
所以 f?1?x??log3?x?3??，x??3?
x2?6x?9,?x?0? （2）g?x??log3x?F?x??2log3?x?3??log3x?log3x ＝logs?x???9??6??log312 当且仅当x＝3时，取“＝” x? 所以F（x）的最小值为log123
（理科）解（1）∵f′(x)=－x2+4ax－3a2=－(x－3a)(x－a),由f′(x)>0得：a 则函数f(x)的单调递增区间为（a, 3a），单调递减区间为（－∞，a）和（3a，+∞） 考单招——上高职单招网 列表如下： x f′(x) f(x) (－∞，a) — －a 0 (a, 3a) + 3a 0 b (3a,+ ∞) — 43a+b 3∴函数f(x)的极大值为b，极小值为－ 43 a+b…………………………（6分） 3（2）?f?(x)??x2?4ax?3a2??(x?2a)2?a2,?f?(x)在[a?1,a?2]上单调递减， 因此f?(x)max?f?(a?1)?2a?1,f?(x)min?f?(a?2)?4a?4 ∵不等式|f′(x)|≤a恒成立， ?2a?1?a4,解得:?a?1 ?5?4a?4??a即a的取值范围是 4?a?1……………………………………（12分） 522（文科）1）在①中令x=y=1, 得f(1)= f(1)+ f(1)? f(1)=0, 令x=y=－1, 得f(1)= f(－1)+ f(－1)? f(－1)=0, 再令y=－1, 得f(－x)= f(x)+ f(－1)? f(x), ∴f(x)为偶函 数； （2）在①中令y?111,得f(1)?f(x)?f()?f()??f(x), xxx 先讨论f(x)在(0,??)上的单调性， 任取x1x2，设x2>x1>0， ?f(x2)?f(x1)?f(x2)?f( 由③知：f(x1)?f(2),x1x1?x2?1, x1x2)>0，∴f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在（0，+∞）上是增函数， x1 ∵偶函数图象关于y轴对称 ，∴f(x)在（－∞，0）上是减函数； （3）∵f[x(x－3)]= f(x)+ f(x－3)≤2， 由①②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(－4)， 考单招——上高职单招网 1）若x(x－3)>0 , ∵f(x)在（0，+∞）上为增函数， 由f[x(x－3)] ≤f(4) 得 ?x?0或x?3?x(x?3)?0????1?x?0或3?x?4; ?x(x?3)??4?1?x?4?? 2）若x(x－3)<0, ∵f(x)在（－∞，0）上为减函数； ?x(x?3)?0?0?x?3 由f[x(x－3)] ≤f(－4)得 ????0?x?3; ?x(x?3)??4?x?R ∴原不等式的解集为： {x|?1?x?0}?{x|0?x?3}?{x|3?x?4}. （理科）解：⑴f(m+n)=f(m)f(n)，令m=1,n=0，则f(1)=f(1)f(0)，且由x>0时，0 1>1 f(?x)⑵设x1 f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，∴f(x)在R上单调递减 ⑶∵f(x2)f(y2)>f(1)，∴f(x2+y2)>f(1)，由f(x)单调性知x2+y2<1，又f(ax－ y+2)=1=f(0)， ∴ax－y+2=0，又A∩B＝?，∴ 2a?12?1，∴a2+1≤4，从而?3?a?3