高三数学寒假作业4
班级________________学号________________姓名_______________
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1?i41 已知i是虚数单位， 复数z??i的共轭复数z在复平面
1?i内对应点落在第 象限．
2 已知集合M?{x|y?3?x2},N?{x|x?1?2}，且M、
都是全集I的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为 ；
3 设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1??2010，
S2010S2008??2，则20102008a2? ；
?????????????????????4 已知向量m,n的夹角为，且|m在?ABC中，|n|?2，|?3，AB?m?n,AC?m?3n，
6????D为BC边的中点，则|AD|? ；
1x2y2 5 设椭圆2?2?1(a?b?0),的离心率为e?，右焦点为F(c,0)，方程
2abax2?bx?c?0的两个实根分别为x和x，则点P(x,x)与圆O；x2?y2?2的位置关
1212系是________．
6 函数f(x)?x3?ax在(1,2)处的切线方程为 .
7. 若1?{a?2,(a?1)2,a2?3a?3},则实数a? .
8.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a? ．若要从身高在 [120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中，用 分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在 [140,150]内的学生中选取的人数应为 ．
9 设?,?为互不重合的平面，m,n是互不重合的直线，
给出下列四个命题：①若m//n,n??,则m//? ②若m??,n??,m//?，n//?，则?//? ③若?//?,m??,n??，则m//n
④若???,????m,n??,n?m,则n??； 其中正确命题的序号为 .
x2y210 已知抛物线y?2px(p?0)与双曲线2?2?1(a?0,b?0)有相同的焦点F，点Aab是两曲线的一个交点，且AF?x轴，若l为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l的斜
2率的取值范围是 .
11某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口遇到红灯或绿灯是等可能的，遇到红灯时停留的时间都是2min．则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率为 ．
12.如图,有一壁画,最高点A处离地面4m,最低点B处离地面2.2m,若从离
1.6
A C ? B 4 D 2.2 1 地高1.6m的C处观赏它,则当视角?最大时,C处离开墙壁 m.
?11??ba?2这两个不等式为对偶不等式.如果不等式x?43xcos2??2?0与不等式
??，则?? . 2x2?4xsin2??1?0为对偶不等式，且????,???2? 13 定义：关于x的两个不等式f?x??0和g?x??0的解集分别为?a,b?和?，?，则称
14 已知函数f(x)?13x?ax2?bx（a,b?R），若y?f(x)在区间??1,2?上是单调减函3数，则a?b的最小值为 .
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15 已知函数f(x)?2sin(?x??)(??0,?如图所示，直线x??2????2)的图像
3?7?是其两条对称轴。 ,x?88（Ⅰ）求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；
（Ⅱ）若f(?)??3??6，且???，求f(??)的值。
8885
16 如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABC （Ⅰ）证明：BD⊥AA1；（Ⅱ）证明：平面AB1C//平面DA1C1
（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在， 求出点P的位置；若不存在，说明理由．
2
17 设定义在R上的函数f(x)?ax3?bx2?cx，当x??并且函数y?f'(x)的图象关于y轴对称． （Ⅰ）求f(x)的表达式；
（Ⅱ）若曲线C对应的解析式为g(x)?22时，f(x)取得极大值，23114求曲线过点P(2,4)的切线方程． f(x)?x?，
223
18 为赢得2010年上海世博会的制高点，某公司最近进行了世博特许产品的市场分析，调查显示，该产品每件成本9元，售价为30元，每天能卖出432件，该公司可以根据情况可变化价格x（?30?x?54）元出售产品；若降低价格，则销售量增加，且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值|x|的平方成正比，已知商品单价降低2元时，每天多卖出24件；若提高价格，则销售减少，减少的件数与提高价格x成正比，每提价1元则每天少卖8件，且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收1元的管理费． （Ⅰ）试将每天的销售利润y表示为价格变化值x的函数； （Ⅱ）试问如何定价才能使产品销售利润最大？
3
x2y219 已知椭圆2?2?1?a?b?0?和圆O：x2?y2?b2，过椭圆上一点P引圆O的两
ab条切线，切点分别为A,B． （Ⅰ）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
? （ⅱ）若椭圆上存在点P，使得?APB?90，求椭圆离心率e的取值范围；
（Ⅱ）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：
20 设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n?N，点(n,图象上．
（Ⅰ）求a1,a2,a3及数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ） 将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，
*a2ON2?b2OM2为定值．
Sna)都在函数f(x)?x?n 的n2xa6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；
（a21），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5?b100的值；
2n*（Ⅲ）令g(n)?(1?)（n?N），求证：2?g(n)?3．
an
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高三数学寒假作业4 (参考答案)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
{z|?3≤z??3} 3、?2008 4、1、四 2、1 5 点P在圆O内 6 y?4x?2 7. .
0
8. 0.030,3 9、④ 10、(2,??) 11.
75?3 12 1.2 13、 14、 826二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
15、（本小题14分）已知函数f(x)?2sin(?x??)(??0,?直线x??2????2)的图像如图所示，
3?7?,x?是其两条对称轴。 88（Ⅰ）求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；
?3??6，且???，求f(??)的值。
8885T7?3????，∴T??， 解：（Ⅰ）由题意，?2882（Ⅱ）若f(?)?in(2又??0，故??2，∴f(x)?2s分 由f(又?x)??， ……………………2
?3?3?)?2sin(??)?2，解得??2k??(k?Z)，
484????2?2，∴????4，∴f(x)?2sin(2x??4)。 ………………5分
由2k???2?2x??4?2k???2(k?Z)知，k???8?x?k??3?(k?Z) 8∴函数f(x)的单调增区间为[k???8,k??3?](k?Z)。 ………………7分 85