（Ⅱ）解：依题意得：2sin(2??∵
?4)?6?3，即sin(2??)?， ………………8分 545?8?????3?， ∴0?2???，
428∴cos(2????34)?1?sin2(2??)?1?()2?， ……………10分 4455??f(??)?2sin[(2??)?]
844∵sin[(2?????????23472 )?]?sin(2??)cos?cos(2??)sin?(?)?4444442551072。 ……………14分 5∴f(
?4??)?16、（本小题满分14分）如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABC
（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）证明：平面AB1C//平面DA1C1
（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若
存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
证明：（Ⅰ）连BD，∵ 面ABCD为菱形，∴BD⊥AC 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
则BD⊥平面AA1C1C 故：BD⊥AA1
（Ⅱ）连AB1，B1C，由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知 AB1//DC1，AD//B1C，AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D
由面面平行的判定定理知：平面AB1C//平面DA1C1 （Ⅲ）存在这样的点P
因为A1B1∥AB∥DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形． ∴A1D//B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，
因B1B∥CC1，∴BB1∥CP，∴四边形BB1CP为平行四边形 则BP//B1C，∴BP//A1D∴BP//平面DA1C1
17、（本小题满分15分）设定义在R上的函数f(x)?ax?bx?cx，当x??322时，f(x)2取得极大值2，并且函数y?f'(x)的图象关于y轴对称． 3（Ⅰ）求f(x)的表达式；
6
（Ⅱ）若曲线C对应的解析式为g(x)?114求曲线过点P(2,4)的切线方程． f(x)?x?，
223解：（Ⅰ）∵f'(x)?3ax2?2bx?c为偶函数， ∴f'(?x)?f'(x)对一切x?R恒成立,
∴b?0 （2分）
∴f(x)?ax3?cx 又 当x??22时，f(x)取得极大值， 23?22222f(?)??a?c???a???2423 ∴解得
?3， ?23???b??1f'()?a?c?0??22
（Ⅱ）g(x)?
∴ff(x)?23x?x f'(x)?2x2?1（6分） 311414f(x)?x??x3?， 223331342设切点为(x0,y0)，则y0?x?,k?g'(x)|x?x0?x0
3314切线方程为：y?(x03?)?x02(x?x0)，（8分）
33代入点P(2,4)化简得：x03?3x02?4?0，解得x0??1,2，（10分） 所以切线方程为：x?y?2?0和4x?y?4?0．（12分）
18、（本小题满分15分）为赢得2010年上海世博会的制高点，某公司最近进行了世博特许
产品的市场分析，调查显示，该产品每件成本9元，售价为30元，每天能卖出432件，该公司可以根据情况可变化价格x（?30?x?54）元出售产品；若降低价格，则销售量增加，且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值|x|的平方成正比，已知商品单价降低2元时，每天多卖出24件；若提高价格，则销售减少，减少的件数与提高价格x成正比，每提价1元则每天少卖8件，且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收1元的管理费． （Ⅰ）试将每天的销售利润y表示为价格变化值x的函数； （Ⅱ）试问如何定价才能使产品销售利润最大？
2解：（1）当降价|x|元时，则多卖产品kx，由已知得：x?2时kx?24,?k?6，
2
所以f(x)?(30?x?9)(432?6x)?6(x?21x?72x?1512) （3分） 当提价x时，f(x)?(30?x?10)?(432?8x)??8x?272x?8640， （2分）
2232 7
?6(x3?21x2?72x?1512)(?30≤x≤0)? 所以f(x)?? （6分） 2(0?x≤54)???8x?272x?8640 （Ⅱ）当降价销售时，f(x)?6(x3?21x2?72x?1512)，
f'(x)?18(x2?14x?24)?18(x?12)(x?2)?0?x1??12,x2??2，
所以有 x [?30,?12) －12 0 (?12,?2) －2 (?2,0] ＋ ↗ f'(x) ＋
? 0 f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 即f(x)在x??12处取得唯一极大值f(?12)?11664， ∴f(x)max?11664， （9分）
当提价销售时，f(x)??8x2?272x?8640
??8(x2?34x)?8640??8[(x?17)2]?10952≤10952?11664 （11分）
所以当定价18元时，销售额最大． （12分）
x2y219、（本小题满分16分）已知椭圆2?2?1?a?b?0?和圆O：x2?y2?b2，过椭圆
ab上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B． （Ⅰ）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
? （ⅱ）若椭圆上存在点P，使得?APB?90，求椭圆离心率e的取值范围；
a2b2? （Ⅱ）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值． 22ONOM解：（Ⅰ）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2?y2?b2，
∴b?c，∴b?a?c?c，∴a?2c，∴e?2222222． （ 3分 ） 2? （ⅱ）由?APB?90及圆的性质，
222 可得OP?2b，∴OP?2b?a, 12?e?1． （8分），
22 （Ⅱ）设P?x0,y0?,A?x1,y1?,B?x2,y2?，则
22∴a?2c∴e?2y0?y1x??1整理得x0x1?y0y1?x12?y12
x0?x1y1
?x12?y12?b2， ∴PA方程为：x1x?y1y?b2，PB方程为：x2x?y2y?b2．
PA、PB都过点P?x0,y0?，∴x1x0?y1y0?b2且x2x0?y2y0?b2
8
直线AB方程为 x0x?y0y?b2．
b2b2令x?0，得ON?y?，令y?0，得OM?x?，
y0x0∴
a2ONa2ON22?b2OMb2OM2222a2y0?b2x0a2b2a2??4?2，
b4bb ∴
?a2为定值，定值是2． （13分）
b*20、（本小题满分16分）设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n?N，点(n,数f(x)?x?Sn)都在函nan 的图象上． （Ⅰ）求a1,a2,a3及数列{an}的通项公式an； 2x （Ⅱ） 将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，
，（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；a6）（a21），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5?b100的值；
2n*（Ⅲ）令g(n)?(1?)（n?N），求证：2?g(n)?3．
anSa解：（1）因为点(n,n)在函数f(x)?x?n的图象上，
n2xSa112故n?n?n，所以Sn?n?an．令n?1，得a1?1?a1，所以a1?2；
n2n2211?a2，9a3，a3?6． 令n?2，得a1?a2?4 a2?4；令n?3，得a1?a2?a3??
22Sa 因为点(n,n)在函数f(x)?x?n的图象上，
n2xSa12 故n?n?n，所以Sn?n?an ①．
n2n21 令n?1，得a1?1?a1，所以a1?2；
21n?2时Sn?1?(n?1)2?an?1 ②
2n?2时①－②得an??an?1?4n?2
令an?A(n?1)?B??(an?1?An?B)，
即an??an?1?2An?A?2B与an??an?1?4n?2比较可得
2A?4,A?2B??2，解得A?2,B??2．
因此an?2(n?1)?2??(an?1?2n?2)
又a1?2(1?1)?2?0，所以an?2(n?1)?2?0，从而an?2n．（4分） （2）因为an?2n（n?N），所以数列?an?依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
*
（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），
（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，
9
故 b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以b100?68?24?80?1988．又b5=22，所以b5?b100=2010 （9分）
（3）有（1）中知an?2n，∴g(n)?(1?
当n?1时，f(1)?2?[2,3)；
2n1)?(1?)n， ann1n010111212n1nnnnnn1n010111212n1n010111显然(1?)?Cn()?Cn()?Cn()??Cn()?Cn()?Cn()?2
nnnnnnnn(n?1)(n?2)?(n?k?1)11111k1k?????而Cn()?（k?2） knnk!k!(k?1)k(k?1)k1010111212n1n(1?)n?Cn()?Cn()?Cn()??Cn()
nnnnn111111?)?3??3． ?1?1?(1?)?(?)???(223n?1nn当n≥2时，(1?)?Cn()?Cn()?Cn()??Cn()
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