解二 由一阶微分形式不变性得 dy?112d?(sinx)??2?(sinx)d?(sinx)
?2(sinx)?2(sinx)2?(sinx)2?(sinx)?'(sinx)cosx?'(sinx)d(sinx)?dx． 22?(sinx)?(sinx) ?例5
设f(x)?sinxsin3xsin5x，求f''(0).
解一 利用乘积求导法则
xsin3xsin5x?3sinxco3sxsin5x?5sinxsin3xco5sx. f'(x)?cos继续用乘积求导法则求导得
f''(x)??35sinxsin3xsin5x?30sinxcos3xsin5x? 10cosxsin3xcos5x?6cosxcos3xsin5x， 所以 f''(0)?0．
解二 对函数先用和差化积公式得
f(x)?sinxsin3xsin5x?()sinx(cos2x?cos8x)
12141 f'(x)?()(?cosx?3cos3x?7cos7x?9cos9x)，
41 f''(x)?()(sinx?9sin3x?49sin7x?81sin9x)，
4 ?()(?sinx?sin3x?sin7x?sin9x)， 所以 f''(0)?0．
解三 利用“可导的奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数”. 由f(x)为奇函数知f'(x)为偶函数，f''(x)为奇函数，又因为奇函数在x?0处函数值为零，知f''(0)?0.
比较上述方法知解三较优.
?x?a(t?sint),d2y例6已知摆线的参数方程?求2．
?y?a(1?cost),dx解一 利用参数方程求导法求导
dya(1?cost)'sint??， dxa(t?sint)'1?cots 6
dsint()d2yddycost(1?cost)?sintsint1dt1?cost ?()???22dxdxdxa(1?cost)dx(1?cost)dt ??1． 2a(1?cots)解二 利用导数为微分之商求得
dyasintdtsint， ??dxa(1?cots)dt1?cots(1?cots)cotsdtsintsintdtdy?d()d2y?1(1?cots)2(1?cots)2dx ． ???22dxa(1?cots)dtdxa(1?cots)例7 求由x?xy确定的y?f(x)在?1,1?处的切线方程.
y解 方程两边取对数，得 方程两边对x求导得
lnx?x?11lnx?lny，即xlnx?ylny， yx11?y'lny?y??y'， xy于是，y'?1?lnx，y'(1,1)?1．
1?lny所以，切线方程为y?1?x?1，即y?x?0．
例8 设有一深为18cm，顶部直径为12cm的正圆锥形漏斗装满水，下面接一直径为10cm的圆柱形水桶（如图所示），水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为12cm，水面下降速度为1cm/s时，求桶中水面上升的速度.
解 设在时刻t漏斗中水面的高度h?h(t)，漏斗在高为h(t)处的截面半径为r(t)，桶中水面高度H?H(t).
⑴ 建立变量h与H的关系，
由于在任意时刻t，漏斗中的水与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量，则
()r(t)h(t)?5πH(t)?6π， 又因
π3223r(t)h(t)1?，所以r(t)?()h(t)，代入上式得 61837
(π3)h(t)?25πH(t)?63π． 27⑵ h'(t)与H'(t)之间的关系 将上式两边对t求导得
()h(t)h'(t)?25πH'(t)?0，
π92h2(t)?h'(t)， 所以 H'(t)??9?25由已知，当h(t)?12cm时，h'(t)??1cms，代入上式得
h(t)12216?(?1)?(cms)， H'(t)??9?2525因此，当漏斗中水深为12cm，水面下降速度为1cms时， 桶中水面上升速度为
H(t)16cms. 25四、练习题
1.判断正误
⑴ 若函数y?f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处一定可导； （ × ） 解析 函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在并且相等．如函数
??x,x?0,f(x)?x在x?0处可导，而f(x)?x?? 在x?0处左右导数存在但不相
x,x?0?等，所以f(x)在x?0处不可导．
⑵ 若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处一定可导； （ × ） 解析f(x)在一点可导，f(x)在该点不一定可导．如函数f(x)????1,x?0,
1,x?0,?f(x)?1在x?0处可导，但f(x)在x?0处却不可导．
⑶ 初等函数在其定义域内一定可导； （ × ） 解析 初等函数在其定义区间内连续，但连续不一定可导．如函数y?数，其定义区间为???,???，但y?x2是初等函
x2?x 在x?0点处却不可导．
⑷ 若y?f(x)在(?a,a)可导且为奇（偶）函数，则在该区间内，f'(x)为偶（奇）函数； （ √ ）
8
解析 ① 若y?f(x)为奇函数，即f(?x)??f(x)，则由导数定义
f?(?x)?limf(?x??x)?f(?x)?x?0?x
??f(x??x)?f(x?lim)x?0?x ?f?x????x???f(x?lim)x?0??x ?f?(x)，
所以f'(x)为偶函数．
② 若y?f(x)为偶函数，即f(?x)?f(x)，则由导数定义
f?(?x)?f(?x??x)?f(?x)?limx?0?x
?limf(x??x)?f(x)?x?0???x
fx????x???f(x)?limx?0??x???1? ??f?(x)，
所以f'(x)为奇函数．
⑸ 若y?f(x)在点x0处可微，则f(x)在点x0处也一定可导. 解析 因为函数在一点处可微和可导是等价的，所以命题正确.
2.选择题
⑴y?x?1在x?1处（ A ）；
（A）连续； （B）不连续； （C）可导； （D）可微． 解析 y?x?1???x?1,x?1,?1?x,x?1,
lim(xlim?1?f(x)?limx?1?(1?x)?0，limx?1?f(x)?x?1?x?1)?0，所以limx?1f(x)?0，且f(1)?0，则limx?1f(x)?f(1)，所以函数y?x?1在x?1处连续； 另一方面，ff(1??x)?f(1)??(1)?lim?0??x ?lim??x?0?x?x?0??x ??1，
f?(1)?f(1??x)?f(1)?x?0? ?lim?limx?0??x?x?0??x ?1， 左右导数存在但不相等，所以函数y?x?1在x?1处不可导，也不可微．
9
√ ）（ ⑵y?xx(x?0)的导数为（ D ）； （A）xxx?1； （B）xlnx； （C）xxxx?1?xxlnx； （D）xx(lnx?1)．
解析 y?xx?exlnx，由复合函数求导法
y??exlnx[(x)??lnx?x(lnx)?]?exlnx(lnx?1)?xx(lnx?1)．
⑶下列函数中（ A ）的导数等于()sin2x；
（A）()sinx； （B）()cos2x； （C）()sin2x； （D）()cosx．
12122121212211??2sinx??sinx??sinx?cosx?sin2x， 221??1 （B）[()cos2x]????sin2x???2x???sin2x， 221??1（C）[()sin2x]??cos2x??2x??cos2x， 2211?2?1 （D）[()cosx]??2cosx??cosx???cosx?sinx??sin2x． 222解析 （A）[()sinx]?212?⑷若f(u)可导，且y?f(ex)，则有（ B ）；
（A）dy?f'(ex)dx； （B）dy?f'(ex)exdx； （C）dy?f(e)edx； （D）dy?[f(e)]'edx．
x解析 y?f(e)可以看作由y?f(u)和u?e复合而成的复合函数
xxxxx由复合函数求导法 y??f?(u)e????f?(u)?exx，
所以 dy?y??dx?f'(e)edx．
(10)⑸已知y?sinx，则y． ?（ C ）
xx（A）sinx； （B）cosx； （C）?sinx； （D）?cosx．
x，则y??cosx，y????sinx，y?????cosx，y(4)?sinx，依次类解一 y?sin推，可知y(8)?sinx，所以y(10)??sinx．
(n)x?解二 ?sin3. 填空题
?sinx(?nπ)，所以?sinx?(10)?sin(x?5π)??sinx． 2⑴ 曲线y?lnx上点(1,0)处的切线方程为y?x?1；
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