解 曲线在(1,0)点的切线斜率为 y?x?1??lnx??x?1?1x?1，
x?1所以曲线y?lnx在(1,0)点处的切线方程为 y?x?1．
⑵作变速直线运动物体的运动方程为s(t)?t2?2t，则其运动速度为v(t)?
2t?2，加速度为a(t)?2；
解 已知变速直线运动的速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，则有 运动速度为 v(t)?s?(t)?(t2?2t)??2t?2， 加速度为 a(t)?v?(t)?(2t?2)??2．
f(3?h)?f(3)??1；
h?02hf(3?h)?f(3)f?3?(?h)??f(3)1?lim?(?) （由导数定义） 解 limh?0h?02h?h211?(?)?f?(3)?(?)?2??1．
221dx； ln(1?x)?⑷d1?x11????1?x?dx ??dx． 解 d?ln1(?x)? ??ln(1?x)?dx ?1?x1?x⑶已知f'(3)?2，则lim⑸若f(u)可导，则y?f(sinx)的导数为
f?(sinx)?cosx?12x．
解 y?f(sinx)由y?f(u)，u?sinv，v?有 y??f?(u)?u?(v)?v?(x)
x复合而成，由复合函数求导法，
?f?(u)?cosv?12x
?f?(sinx)?cosx?4. 解答题
⑴ 设f(x)?e,g(x)?lnx，求f'?g'(x)?；
x12x．
解 f?(x)?e????exx， g?(x)??lnx???1 x11所以 f?[g?(x)]?f?[]?ex．
x
11
1?2?xsin,x?0,⑵ 已知f(x)??求f'(x)； x?x?0,?0,11111?x2?cos(?2)?2xsin?cos， xxxxx??x?2sin1?x?lim?x?sin1?0， x?0时，f?(0)?limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x?0?x?0?x?x?x2?解 x?0时，f'(x)?(xsin)?2x?sin1x11??2xsin?cos,x?0,所以 f'(x)?? xx?x?0．?0,⑶ 求曲线x2?y2?2x?3y?2?0的切线，使该切线平行于直线2x?y?1?0； 解 由隐函数求导法有 2x?2yy??2?3y??0， 所以曲线切线的斜率为 y??222?2x，
2y?3设切点坐标为?x0,y0?，则 x0?y0?2x0?3y0?2?0， ① 又知所求切线平行于直线2x?y?1?0，所以
y??x0,y0??2?2x0??2， ②
2y0?3联立①、②，解得切点坐标为?2,?1?和?0,?2?，
因此，所求切线方程为 y?1??2(x?2)和y?2??2(x?0)， 即 2x?y?3 和 2x?y??2．
⑷设f(x)在点x?0处连续，且limx?0f(x)?A（A为常数），证明f(x)在点x?0处x可导；
证 limx?0f(x)f(x)?A，则 limf(x)?lim?x?A?0?0，
x?0x?0xxx?0又因为f(x)在点x?0处连续，所以limf(x)?f(0)， 则 f(0)?0， 于是 f?(0)?limx?0f(x)?f(0)f(x)?0f(x)?lim?lim?A， x?0x?0xxx12
所以f(x)在点x?0处可导，且f?(0)?A．
⑸ 有一圆锥形容器，高为10cm，底半径为4cm，现以5cm3/s的速度把水注入该容器，求当水深5cm时水面上升的速度：（a）圆锥顶点在上；（b）圆锥顶点在下.
解 设t时刻容器内水的体积为V(t)，水面高度为h(t)，液面半径为r(t)， （a）圆锥顶点在上，容器截面如右图所示：
r10?h?， 4102h所以 r?4?，
51212所以 V(t)?π4?10?πr(10?h)
33160π12h??π(4?)2(10?h)
335由三角形的相似关系，有
r h 4 10 π24h24h3?(48h??)， 3525dV?48h12h2dh?(48??)， 则 dt3525dtdVdh5?5cm3min时，解得?cmmin， dtdt4π5cmmin． 所以当水深5cm时水面上升的速度为4π当h?5cm，
（b）圆锥顶点在下，容器截面如右图所示
rh由三角形的相似关系，有 ?，
4102h所以 r?， 10 5h 12π2h24π3h， 所以 V(t)?πrh?()h?33575dV4π2dh?h则 ， dt25dtdVdh5?5cm3min时，解得?cmmin， 当h?5cm，dtdt4π5cmmin． 所以当水深5cm时水面上升的速度为4π
4 r 13