（Ⅱ）证明：对任意k?N?，
2ak?2?(ak?ak?1)?2a1qk?1?(a1qk?1?a1qk)?a1qk?1(2q2?q?1)， 由q??1得2q2?q?1=0，故2ak?2?(ak?ak?1)=0． 2 所以，对任意k?N?，ak，ak?2，ak?1成等差数列． 17．（本小题满分12分）
函数f(x)?Asin(?x?间的距离为
?6)?1（A?0，??0）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之
?． 2（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）设??(0，)，则f()?2，求?的值．
??22【解析】（Ⅰ）∵函数f?x?的最大值是3，∴A?1?3，即A?2．
?，∴最小正周期T??，∴??2． 2? 故函数f?x?的解析式为f(x)?2sin(2x?)?1．
6???1 （Ⅱ）∵f()?2sin(??)?1?2，即sin(??)?，
2662??????? ∵0???，∴?????，∴???，故??．
2663663 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为18．（本小题满分12分）
直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AA1，?CAB?（Ⅰ）证明CB1?BA1；
（Ⅱ）已知AB?2，BC?5，求三棱锥C1?ABA1的体积． 【解析】（Ⅰ）如图，连结AB1,
?ABC?A1B1C1是直三棱柱，?CAB=
?．
2?2，
，来源， ?AC?平面ABB1A1,故AC?BA1． 又?AB?AA1，?四边形ABB1A1是正方形，
?BA1?AB1，又CA?AB1?A， ?BA1?平面CAB1，故CB1?BA1．
（Ⅱ）?AB?AA1?2，BC?5，?AC?AC11?1． 由（Ⅰ）知，AC11?平面ABA1， ?VC1?ABA1?112?2?1?S△ABA1·=． AC1133319．（本小题满分12分）
假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 【解析】（Ⅰ）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为 甲品牌产品寿命小于200小时的概率为
5?201?，用频率估计概率，所以， 10041． 4 （Ⅱ）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品
7515?， 1452915 用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为．
29 是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是20．（本小题满分13分）
x2?y2?1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率． 已知椭圆C1:4（Ⅰ）求椭圆C2的方程；
????????（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB?2OA，求直线AB的方程．
y2x2?1?a?2?，【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆C2的方程为2? a4a2?433a?4．? 其离心率为2，故a，则 2y2x2．
故椭圆C2的方程为16?4?1 （Ⅱ）解法一：A，B两点的坐标分别为?xA，yA?，?xB，yB?，
???????? 由AB?2OA及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y?kx．
x242??y2?1中，得1?4k2x2?4，所以xA 将y?kx代入， 1?4k24??y2x2162?+?1中，得?4?k2?x2?16，所以xB 将y?kx代入， 24?k164????????1622 又由AB?2OA，得xB，即?4xA4?k2?16．
1?4k2
解得k??1，故直线AB的方程为y?x或y??x． 解法二：A，B 两点的坐标分别为?xA,yA?,?xB,yB?，
由AB?2OA及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上， 因此可设直线AB的方程为y?kx．
x242??y2?1中，得1?4k2x2?4，所以xA 将y?kx代入， 1?4k24??????????2 又由AB?2OA，得xB?2B2B16k2162，yB?， 221?4k1?4ky2x24?k2??1?1，即4?k2?1?4k2， 将x,y代入2中，得1?4k164 解得k??1，故直线AB的方程为y?x或y??x 21．（本小题满分14分）
设函数fn(x)?x?bx?cn(n?N?,b,c?R)
（Ⅰ）设n?2，b?1,?1?c??1，证明：fn(x)在区间?,1?内存在唯一的零点；
?2?（Ⅱ）设n为偶数，f(?1)?1，f(1)?1，求b?3cb+3c的最小值和最大值； （Ⅲ）设n?2，若对任意x1,x2?[?1,1]，有|f2(x1)?f2(x2)|?4，求b的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当b?1，c??1，n?2时，fn(x)?xn?x?1 ?fn()fn(1)?(12111?)?1?0，?f(x)在（，1）内存在零点． nn222'n?1 又当x?(,1)时，fn(x)?nx ?fn(x)在（12?1?0，
11，1）上是单调递增的，?fn(x)在（，1）内存在唯一零点． 22???1?f??1??1，?0?b?c?2， （Ⅱ）解法一：由题意，知?即?
?1?f1?1，?2?b?c?0.????? 由图像，知b?3c在点?0，?2?取到最小值-6，在点?0，0?取到最大值0． ∴b?3c的最小值是-6，最大值是0．
解法二：由题意，知?1?f?1??1?b?c?1，即?2?b?c?0； ① ?1?f??1??1?b?c?1，即?2??b?c?0． ② ①×2+②，得?6?2?b?c????b?c??b?3c?0， 当b?0，c??2时，b?3c??6；当b?c?0，b?3c?0． ∴b?3c的最小值是-6，最大值是0．
??f??1??1?b?c， 解法三：由题意，知?
f1?1?b?c.????f?1??f??1?f?1??f??1??2 解得b?，b?．
22 ∴b?3c?2f?1??f??1??3．
又∵?1?f??1??1，?1?f?1??1，∴?6?b?3c?0． 当b?0，c??2时，b?3c??6；当b?c?0，b?3c?0．
∴b?3c的最小值是-6，最大值是0． （2）当n?2时，f2(x)?x2?bx?c．
对任意x1,x2?[?1,1]都有f2(x1)?f2(x2)?4等价于f2(x)在[?1,1]上的最大值 与最小值之差M?4,据此分类讨论如下： （ⅰ）当b?1，即b?2时，M?f2(1)?f2(?1)?2b?4，与题设矛盾． 2b?0，即0?b?2时， 2bb2 M?f2(1)?f2(?)?(?1)?4恒成立．
22b，即-2?b?0时， （ⅲ）当0?-?12bb2 M?f2(-1)?f2(?)?(-1)?4恒成立．
22 （ⅱ）当-1?- 综上可知，-2?b?2．
注：（ⅱ）（ⅲ）也可合并并证明如下：
用max{a，b}表示a，b中的较大者，当?1??b?1，即?2?b?2时， 2bM?max{f2(1)，f2(?1)，f2(?)}2f(?1)?f2(1)f2(?1)?f2(1)b?2??f2(?)222 2b?1?c?b?(??c)4b?(1?)2?4恒成立.2