应用泛函分析(第二版)
所以?(x?,y?)?0，即x??y?。证毕。
注：（1）从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可任意选取，最终都能收敛到惟一不动点。
（2）该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式，即
an?(x?,xn)??(Tx0,x0)
1?a因为完备度量空间的任何子集在原有度量下仍然是完备的，所以定理中的压缩映像不需要在整个空间X上有定义，只要在某个闭集上有定义，且像也在该闭集内，定理的结论依然成立。
在实际应用过程中，有时T本身未必是压缩映像，但T的若干次复合Tn是压缩映像，这时T仍然有惟一不动点，这就是如下所述的对压缩映像原理的改进定理。
【定理2.17】 设X是完备度量空间，T:X?X是一个映射。如果存在某个自然数n0，使Tn0是压缩映射，那么T存在惟一的不动点（这里Tn0是T的n0次复合，即T2x?T(Tx),?,Tn0x?T(Tn0?1x)）
证明：Tn0是压缩映像，所以存在惟一的不动点x?，即Tn0x??x?，由于
Tn0(Tx?)?Tn0?1x??T(Tn0x?)?Tx?
这说明Tx?仍是Tn0的不动点，而Tn0的不动点惟一，所以Tx??x?，即x?是T的不动点。若T另有不动点
y?.即Ty??y?，则
Tn0y??Tn0?1(Ty?)?Tn0?1y????y?，那么y?也是Tn0的不动点，根据不动点的
惟一性有x??y?证毕。
2.4.2 压缩映像原理的应用
本小节通过代数方程、微分方程、积分方程来说明定理2.16与定理2.17的具体应用。
例2.28 线性代数方程Ax?b均可写成如下形式
x?Cx?D （2.9） 其中C?(cij)n?n,D?(d1,d2,?,dn)T。如果矩阵C满足条件
?cj?1nij?1(i?1,2,?,n)
第二章 度量空间与赋范线性空间
则式（2.9）存在惟一解，且此解可由迭代求得。
证明：取X?Rn，定义度量为
?(?,?)?maxai?bi
1?i?n??(a1,a2,?,an)T,??(b1,b2,?,bn)T
构造映射T:X?X为Tx?Cx?D，那么方程（2.9）的解等价于映射T的不动点。
对于x?(x1,x2,?,xn)T,y?(y1,y2,?,yn)T，由于
?(Tx,Ty)?max?(cijxj?dj)??(cijyj?dj)
1?i?nj?1nj?1nn ?max?cij(xj?yj)?max?cij?(x,y)
1?i?nj?11?i?nj?1n记a?max?cij，由条件a?1，因此T是压缩映像，于是T有惟一不动点，所
1?i?nj?1n以方程（2.9）有惟一解，且此解可由如下迭代序列
x(k)?Cx(k?1)?D
近似计算求得。
例2.29 考察如下常微分方程的初值问题
?dy??f(x,y) ?dx
??y(x0)?y0（2.10）
如果f(x,y)在R2上连续，且关于第二元y满足Lipschitz条件，即
f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2
这里L?0是常数，则方程（2.10）在[x0??,x0??]上有惟一解(??证明：方程（2.10）的解等价于如下方程
x1)。 L y(x)?y0??f(t,y(t))dt
x0（2.11）
的解。取连续函数空间C[x0??,x0??]，定义其上的映射
T:C[x0??,x0??]?C[x0??,x0??]
应用泛函分析(第二版)
为
(Ty)(x)?y0??f(t,y(t))dt
x0x则积分方程（2.11）的解等价于T的不动点。对任意两个连续函数y1(x)，
y2(x)?C[x0??,x0??]，由于
?(Ty1,Ty2)? ? ?x?[x0??,x0??]x0max?x[f(t,y1(t))?f(t,y2(t))]dt f(t,y1(t))?f(t,y2(t))dt
xx?[x0??,x0??]x0max?xx?[x0??,x0??]maxL?y1(t)?y2(t)dt??L?(y1,y2)
x0令a?L?，则a?1，故T是压缩映射，从而T有惟一不动点，即积分方程（2.11）有唯一解，从而微分方程（2.10）在[x0??,x0??]上有惟一解。
例2.30 设K(s,t)是定义在[a,b]?[a,b]上的二元连续函数，则对于任何常数?及任何给定的连续函数f(t)?C[a,b]，如下Volterra型积分方程
x(t)???K(s,t)x(s)ds?f(t)
at(2.12)
存在唯一解。
证明：取连续函数空间C[a,b]，其上定义映射T：C[a,b?C[a,b]]为
(Tx)(t)???K(s,t)x(s)ds?f(t)
at则方程（2.12）的解等价于T的不动点。由于K(s,.t)在[a,b]?[a,b]上连续，于是
K(s,t)在[a,b]?[a,b]有最大值，记为M，即
M?max?K(s,t)：(s,t)?[a,b]?[a,b]?
对任何两个连续函数x1(t),x2(t)，由于
(Tx1)(t)?(Tx2)(t)???taK(s,t)[x1(s)?x2(s)]ds
a?s?b ??M(t?a)maxx1(s)?x2(s)
??M(t?a)?(x1,x2)
(T2x1)(t)?(T2x2)(t)???taK(s,t)[(Tx1)(s)?(Tx2)(s)]ds
第二章 度量空间与赋范线性空间
??M?(x1,x2)?(s?a)ds
a22t ?一般地，对自然数n，归纳可得
?M2(t?a)22n2?(x1,x2)
(Tnx1)(t)?(Tnx2)(t)??Mn(t?a)nn!?(x1,x2)
因此
?(Tnx1,Tnx2)?max(Tnx1)(t)?(Tnx2)(t)
a?t?b ??Mn(b?a)nn!n?(x1,x2)
注意到lim?Mn(b?a)nn!nn???0，因此存在自然数n0，满足
?Mn(b?a)n0n00n0!?a?1
这说明Tn0是压缩映射，由定理2.17，有惟一不动点，亦即Volterra型积分方程（2.12）有惟一解。
例2.31（隐函数存在定理） 设函数f(x,y)在带状域a?x?b,???y??中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy'(x,y)。如果存在常数m和M，满足
0?m?fy'(x,y)?M,m?M
则方程f(x,y)?0在区间[a,b]上必有惟一的连续函数y??(x)作为解，即
f(x,?(x))?0,x?[a,b]
证明：在完备空间C[a,b]中作映射T，使对于任意的函数??C[a,b]，有
(T?)(x)??(x)?1f(x,?(x)) M按定理条件，f(x,y)是连续的，所以(T?)(x)也是连续的，即T??C[a,b]，故T是C[a,b]到C[a,b]的映射。现证T是压缩映射，??1,?2?C[a,b]由微分中值定理存在0???1使
应用泛函分析(第二版)
(T?2)(x)?(T?1)(x)??2(x)?11f(x,?2(x))??1(x)?f(x,?1(x)) MM
??2(x)??1(x)?1'fy[x,?1(x)??(?2(x)??1(x))]?(?2(x)??1(x)) Mm) Mmm又0?m?M所以0?，则0???1,且 ?1令??1?MM??2(x)??1(x)(1?(T?2)(x)?(T?1)(x)???2(x)??1(x)
按C[a,b]中距离的定义，有?(T?2,T?1)???2(x)??1(x)，所以T是压缩映像，存在??C[a,b]使T???，即?(x)??(x)?所以
f(x,?(x))?0(a?x?b)
11即f(x,?(x))，f(x,?(x))?0，
MM习题2.4
1．用压缩映像原理证明方程x?asinx只有惟一解x?0，其中a?(0,1)。 2．证明下述线性方程组
?3?4?1???7??1??1001?45141?1201?4?1???5?1?2???x1??x??2???x3????1??6??1????7??1???8??
有惟一解，并写出求方程近似解的迭代序列。
3．用压缩映像原理构造迭代序列来求下述微分方程
?dy??1?x2 ?dx??x(0)?0的解。
4．设K(s,t)是[a,b]?[a,b]上的连续函数，f(x)?C[a,b]，记
M?max?K(s,t):(s,t)?[a,b]?[a,b]?