第二章 度量空间与赋范线性空间
证明下述Fredholm积分方程
x(t)???K(s,t)x(s)ds?f(t)
ab当??1时有惟一解。
M(b?a)?(Tnx,Tny)5．设X是完备度量空间，T:X?X，如果a?infsup?1，证
nx?y?(x,y)明T存在惟一不动点。
2.5线性空间
在许多数学问题和实际问题中，我们遇到的空间不仅需极限运算，而且要有所谓的加法和数乘的代数运算，如本章所考察的函数空间和序列空间实际上也是一个代数系统。当着眼于空间中的代数结构时，就必须引入线性空间（或向量空间）的概念。
2.5.1 线性空间的定义
【定义2.17】 设X是非空集合，F是实数域或复数域，称X为F上的线性空间，如果满足以下条件：
对任意两个元素x,y?X，存在X中惟一个元素u与之对应，u称为x与y的和，记为u?x?y，且满足：
（1）交换律x?y?y?x(x,y?X)；
（2）结合律x?(y?z)?(x?y)?z(x,y,z?X)；
（3）在X中存在一个元素?，称为零元，使x???x(x?X)； （4）对每个x?X，存在?x?X，使x?(?x)??，?x称为x的负元。 对任意数??F及x?X，存在X中惟一元素v与之对应，记为v??x，称为?与x的数乘，且满足：
（1）结合律?(?x)?(??)x (?,?)?F,x?X： （2）1x?x；
（3）数乘对加法分配律(???)x??x??x；
应用泛函分析(第二版)
（4）加法对数乘分配律?(x?y)??x??y。
如果F?R，称X为实线性空间；如果F?C（复数域），称X为复线性空间。
例2.32 欧式空间Rn是一线性空间。x?(a1,a2,?,an),y?(b1,b2,?,bn),令x与y加法为x?y?(a1?b1,a2?b2,?an?bn)；数乘为?x?(?a1,?a2,?,?an)；零元素??(0,0,?,0)；负元素为?x?(?a1,?a2,?,?an)，易验证Rn是线形空间。
例2.33 C[a,b]按函数的加法与数乘运算组成一线性空间。 例2.34 空间lp(p?1)是线形空间。 设x?(x1,x2,?,xn,?)是实数列，如果?xii?1?p则称数列(x1,x2,?,xn,?)??，
是p次收敛数列，p次收敛数列全体记为lp，称lp空间。对lp中任何两个元素
x?(x1,x2,?,xn,?)，y?(y1,y2,?,yn,?)和任何实数（或复数）a，定义
x?y?(x1?y1,x2?y2,?,xn?xm,?)
ax?(ax1,ax2,?axn,?)
现在证明这样定义的x?y和ax仍是lp中的元素。
因为
xi?yip?(xi?yi)p?(2max(xi,yi))p
pi ?2p(max(xi,yi))p?2p(xi所以
?yi)
p?xi?1?i?yip?2(?xipi?1?p??yi)??
i?1?p则x?y?lp。容易证明ax?lp，所以lp(p?1)按上述加法与数乘运算成为线性空间。对于线性空间，以下几个概念是经常用的。
1. 线性相关与线性无关
X中的元素x1,x2,?,xn称为是线性相关，如果存在不全为零的数组
?1,?2,?,?n?F使得?1x1??2x2????nxn??；反之，若由
第二章 度量空间与赋范线性空间
?1x1??2x2????nxn??，必然导出?1??2????n?0，则称x1,x2,?,xn线性无关。
例2.35 线性空间X?C[a,b]，那么sint,sin2t,sin3t,sin4t是线性无关的，而sint,2sint,3sin2t,4sin2t是线性相关的。
2. 线性组合
设x?X，如果存在?1,?2,?,?n?F，使得
x??1x1??2x2????nxn(xi?X,i?1,2,?,n)
则称x是x1,x2,?,xn的线性组合，或称x可用x1,x2,?,xn线性表示。
3. 子空间
设E?X，如果E对X中线性运算是封闭的，即对x,y?E，有x?y?E，对???F，有?x?E，则称E是X的一个线性子空间，简称子空间。易验证子空间本身也是线性空间。
??都是X的线性子空间，称它们为平凡的子空间；而称其他的子空间X及?为真子空间。
设M为X的一个非空子集，M中任意有限向量的线性组合全体记为
spanM，称为由M张成的线性包，容易证明spanM是X的线性子空间，并且是
X中包含的最小线性子空间，即若H是X中包含M的线性子空间，那么必有
H?spanM。
4. 线性子空间的维数与基
如果线性空间X中可找到n个线性无关的向量，且任意n?1个向量均线性相关，则称X的维数为n，记为dimX?n；若对任何自然数m，X中都有m个线性无关的向量，则X称是无限维的，记为dimX??。n维线性空间中n个线性无关的向量称为空间的一组基。
例2.36 Rn空间是n维线性空间。向量组
e1?(1,0,0,?,0)e2?(0,1,0,?,0)????e3?(0,0,0,?,1)
构成Rn的一组基，称它为Rn的标准基。
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例2.37 设X是线性空间，x1,x2?X且线性无关，则spanx1,x2是X的二维子空间。
例2.38 C[a,b]是无穷维线性空间，因C[a,b]中存在无穷多个线性无关的向量1,t,t2,?,tn,?。
5. 直和
设X是线性空间，L1,L2,?,Ln是X的子空间，如对?x?X，x可惟一表示成x?x1?x2???xn其中xk?Lk(k?1,2,?,n)，则称X是L1,L2,?,Ln的直接和，简称为直和，记为X?L1?L2???Ln或X??Lk。
k?1n容易证明，如果X是L1,L2,?,Ln的直和，在Lk中任取非零元素xk(1?k?n)，则x1,x2,?,xn是线性无关的。
6.函数空间S(E)
设E是一集合，S(E)是E上某些实（或复）值函数所组成的函数簇，在S中按通常方法规定函数的加法及F中的数与函数的乘法如下
(f?g)(x)?f(x)?g(x)(?f)(x)??f(x)(x?E,?f,g?S(E)) (??F,f?S(E))
如果当f,g?S(E)，??F，恒有f?g?S(E)，则S(E)称为F上的一个线性空间，此线性空间称之为函数空间。今后，如不特殊说明，对函数空间总是采取上述的加法及数乘运算。
例2.39 C[a,b],Lp[a,b](p?1)是S([a,b])线性子空间，是线性空间。 7. 数列空间S
设S是数列的全体，在S中定义“加法”与“数乘”运算，即对
x?(x1,x2,?),y?(y1,y2,?)?S,??F
定义
x?y?(x1?y1,x2?y2,?),?x?(?x1,?x2,?)
则S是F上的一个线性空间，此线性空间称为数列空间。如不另外说明，对
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空间S及其子空间都采取这种加法和数乘运算。
例2.40 lp(p?1)，l?空间是S的子空间，是线性空间。 8. 凸集
在线性空间中还有一类常用集合——凸集。一个集合A?X称为凸集，如果对A中任意两个元素x,y及??[0,1]有?x?(1??)y?A。特别，当A是X的子空间时，A一定是凸集，相反凸集未必是子空间。
2.5.2线性算子与线性泛函
【定义2.18】 设X与Y是两个线性空间，映射T:X?Y称为线性算子，如果对?x,y?X及??F，有T(x?y)?Tx?Ty,T(?x)??T(x)。特别，当Y?F时，线性算子称为线性泛函，F是实数域时，称为实线性泛函，F是复数域时，称为复线性泛函。
T:X?Y是线性算子，记
ker(T)?{x?X:Tx??},R(T)?{y?Y:y?Tx,x?X}
分别称为线性算子T的零空间和值域空间。容易证明ker(T)是X的子空间，而R(T)是Y的子空间。
例2.41 设X是线性空间，则T是XT:X?X且Tx??x,(x?X,??F)，到X上的线性算子，当??0,1时，称为相似算子，当??0时，称为零算子，当
??1时称为单位算子。
例2.42 连续函数空间C[a,b]，其子空间C1[a,b]，即[a,b]上全体连续可微函数组成的线性空间，定义算子T?d:C1[a,b]?C[a,b]，则T是线性算子。 dtba例2.43 连续函数空间C[a,b]，定义泛函f:C[a,b]?R,f(x)??x(t)dt，则f是线性泛函。
例2.44 设X与Y分别是n维与m维线性空间，X取一组基
{e1,e2,?,en},Y中取一组基{?1,?2,?,?m}。证明：此时对任何一个线性算子