丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012．01 高三数学（文科）答案及评分参考
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 D 8 A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．x?2y?7?0 10．?1或2 11．30
?112．4 13．3 14． ①②
注：第10，14题只写出一个答案给2分。
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（本小题共13分）
f(x)?2cos2已知函数
x?3sinx2．
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域；
?1cos2?f(??)?33，求1?tan?的值． （Ⅱ）若?为第二象限角，且
解
：
（
Ⅰ
）
因
为
f(x)?1?cosx?3sinx ????????1分
?1?2cos(x?)3， ????????3分
所以函数f(x)的周期为2?，值域为[?1,3]． ????????5分
??1f(??)?33， （Ⅱ）因为
1?2cos?=所以 分
11cos???3，即3． ????????6
cos2?cos2??sin2??cos??sin?1?tan?cos?因为 ????????8
分
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?cos?(cos??sin?)
?cos2??cos?sin?， ????????10分
因为?为第二象限角， 所以 分
sin??223． ????????11
cos2?1221?22???99． ????????13所以 1?tan?9分
16.（本小题共14分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点． （Ⅰ）求证：CN⊥AB1；
C1（Ⅱ）求证：CN //平面AB1M． 证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC， A1所以BB1⊥平面ABC， 所以BB1⊥CN．???????1分
M因为AC=BC，N是AB的中点，
所以CN⊥AB． ????????3分 因为AB∩BB1=B， ????????4分
C所以CN⊥平面AB B1A1． ????????5分
A所以CN⊥AB1． ????????6分 （Ⅱ）（方法一）连结A1B交AB1于P． ????????7分
因为三棱柱ABC-A1B1C1， 所以P是A1B的中点．
因为M，N分别是CC1，AB的中点，
所以NP // CM，且NP = CM， ????????9分 所以四边形MCNP是平行四边形， ????????10分 所以CN//MP． ????????11分 因为CN?平面AB1M，MP?平面AB1M， ??????12分 所以CN //平面AB1M． ????????14分 （方法二）取BB1中点P，连结NP，CP． ????????7分 因为N，P分别是AB，BB1的中点， 所以NP //AB1．
C1A1MPB1BNB1CNABC1B1A1因为NP?平面AB1M，AB1?平面AB1M，
M所以NP //平面AB1M． ????????10分
同理 CP //平面AB1M． ????????11分 因为CP∩NP =P，
C所以平面CNP //平面AB1M． ????????13分
因为CN?平面CNP，
A所以CN //平面AB1M． ????????14分 17.（本小题共13分）
为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6
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个教学班进行调查．已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班． （Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；
（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.
解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3， ????????1分
216?=26?=166个，丙学校抽取教学所以甲学校抽取教学班数为个，乙学校抽取教学班数为
班数
36?=36个，为 ????????
4分
所以分别抽取的教学班个数为2，1，3. ????????5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为
A1，A2，
B1，C1，C2，C3，(A,A)(A,B)则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为：12，11，(A1,C1)，(A1,C2)，(A1,C3)，(A2,B1)，(A2,C1)，(A2,C2)，(A2,C3)，(B1,C1)，(B1,C2)，(B1,C3)，
(C1,C2)，
(C1,C3)，
(C2,C3)共15
个. ????????7分
设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件D， ????8分
则事件D包含的基本事件为：
(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,C1)，(A1,C2)，(A1,C3)，(A2,B1)，(A2,C2)，
(A2,C1)，
(A2,C3)共9
个. ????????10分
P(D)?所以
93?155. ????????
12分
所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率
3为5.
????????13分 18.（本小题共13分）
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在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x?3y?4?0相切． （Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）直线l：y?kx?3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形
OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）设圆O的半径为r，因为直线x?3y?4?0与圆O相切，r?|0?3?0?4|所以 1?3?2． 3分
所以圆O的方程为 x2?y2?4． 分
（Ⅱ）（方法一）因为直线l：y?kx?3与圆O相交于A，B两点，d|3|O?l?2k?5所以1?k2?2k??5，解得
或
2． 7分
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形， 8分
则OM与AB互相垂直且平分， 9分
所以原点O到直线l?1：y?kx?3d的距离为2|OM|?1． 10分
d|3|O?l?所以1?k2?1，解得k2?8， 分
即k??22，经验证满足条件． 12分
所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形． 13分
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????????
????????5
???????? ???????? ???????? ????????
????????11
???????? ????????
（方法二）记OM与AB交于点
C(x0,y0)．
1y??xk． ????????因为直线l斜率为k，显然k?0，所以OM直线方程为
7分
?3k?x???y?kx?3?0k2?1??1??6k6?y?3y??xM(2,2)02??k?1， 所以点M坐标为k， 解得??k?1k?1， ??????9
分
?6k262)?()?4222kk?1k?1M因为点在圆上，所以，解得?8， ????????
(11分
即k??22，经验证满足条件． ????????12分
所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形． ????????13分
19.（本小题共14分）
f(x)?2ax?已知函数
b?lnxx．
x?12处取得极值，求a，b的值；
（Ⅰ）若函数f(x)在x?1，
?（Ⅱ）若f(1)?2，函数f(x)在(0,??)上是单调函数，求a的取值范围．
解
：
（
Ⅰ
）
f?(x)?2a?分
b1?x2x， ????????2
?f?(1)?0??1f?()?0?2由? ， ????????
4分
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