1?a????3??b?1?3． ????????可得 ?6分 （
Ⅱ
）
函
数
f(x)的定义域是
(0,??)， ????????7分
?因为f(1)?2，所以b?2a?1． ????????
8分
2ax2?x?(2a?1)(x?1)[2ax?(2a?1)]f?(x)??2xx2所以， ????????
9分
??要使f(x)在(0,??)上是单调函数，只要f(x)≥0或f(x)≤0在(0,??)上恒成立．
????????10分
当a?0时，11分
f?(x)?x?1?0x2恒成立，所以f(x)在(0,??)上是单调函数； ??????
?当a?0时，令f(x)?0，得x1??1，
x2?2a?11?1??12a2a，
此时f(x)在(0,??)上不是单调函数； ????????12分
当a?0时，要使f(x)在(0,??)上是单调函数，只要1?2a≥0，即13分
0?a≤12．????
1a?[0,]2． ????????综上所述，a的取值范围是
14分
20.（本小题共13分）
a=f(an?1)（n?N*且n?2）{a}函数f(x)的定义域为R，数列n满足n．
（Ⅰ）若数列
{an}成等差，a1?a2，且f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(k为非零常数，n?N*且n?2)，求k的值；
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*a?2b?lna(n?N)，数列{bn}的前n项和为Sn，对于f(x)?kx(k?1)1nn（Ⅱ）若，，
S(m?1)n给定的正整数m，如果解：（Ⅰ）当n?2时， 因为 所以
Smn的值与n无关，求k的值．
an?f(an?1)，f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)，
an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)．
因为数列因为 分
{an}是等差数列，所以 an?1?an?an?an?1．
an?1?an?k(an?an?1)， 所以k?1． ????????6
a?2，且an?1?f(an)，
（Ⅱ）因为f(x)?kx(k?1)，1所以
an?1?kan．
所以数列
{an}是首项为2，公比为k的等比数列，
n?1a?2kn所以．
所以因为所以
bn?lnan?ln2?(n?1)lnk． bn?bn?1?lnk，
{bn}是首项为ln2，公差为lnk的等差数列．
所以
Sn?(b1?bn)n(n?1)?n[ln2?lnk]22．
S(m?1)nSmn因为
(m?1)n{ln2??[(m?1)n?1]lnk}(m?1)[(m?1)nlnk?2ln2?lnk]2?(mn?1)m[mnlnk?2ln2?lnk]mn[ln2?lnk]2，
S(m?1)n又因为
Smn的值是一个与n无关的量，
2ln2?lnk2ln2?lnk?(m?1)nlnk， 所以 mnlnk版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com
解得k?4． ????????13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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