证明：设辅助函数f(x)?x1?x,(x?0).易知f(x)在[0,??)上连续，且有f?(x)?1(1?x)2?0,
(x?0).则由定理二可知f(x)在[0,??)上严格单调增加.由0?a?b?a?b，有
f(a?b)?f(a?b)，得到
a?b1?a?b?a?b1?a?b?a1?a?b?b1?a?b?a1?a?b1?b，所以原
不等式成立.
例4：证明：当x?0时，(1?x)1?1xx2?e1?.
1xx2分析：此不等式为幂指数函数不等式，若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数，更很难判断其在(0,??)上的单调性，可对不等式两边分别取对数得到(1?2(1?x)ln1(?x)?2x?x，在此基础上可利用差式构造辅助函数：
f(x)?2x?x?2(1?x)ln(1?x)(x?0)，因f(0)?0，因而只要证明f(x)?f(0),(x?0)即可.
22)ln(1?x)?1?，化简得
证明：分别对不等式得两边取对数，有(1?2(1?x)ln(1?x)?2x?x21x)ln(1?x)?1?x2，化简有：
2.设辅助函数f(x)?2x?x?2(1?x)ln(1?x),(x?0)，
f?(x)?2x?2ln(1?x)，易知f(x)在[0,??)上连续，f?(x)也在[0,??)上连续，因f??(x)?2x1?x?0,(x?0)，根据定理二，得f?(x)在[0,??)上严格单调增加，所以
且f?(x)?0，根据定理二可知f(x)在[0,??)上f?(x)?f?(0)?0,(x?0).又由f(x)在[0,??)上连续，
严格单调增加，所以f(x)?f(0)?0,(x?0)，即2x?x?2(1?x)ln1(?x)?0，因此
2x?x22?2(1?x)ln1(?x)，即(1?x)1?1x?e1?x2.
4.适用范围
利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数f(x)应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处f(x)的值为0，然后通过在开区间内f?(x)的符号来判断
f(x)在闭区间上的单调性.
三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法
1．证明方法根据－极值的充分条件定理
0定理四（极值的第一充分条件） 设f(x)在x0连续，在?(x0,?)内可导，
（i）若当x?(x0??,x0)时，f?(x)?0,当x?(x0,x0?得极大值;
(ii) 若当x?(x0??,x0)时，f?(x)?0,当x?(x0,x0?得极小值.
?)时，f?(x)?0,则
f(x)在x0取
?)时，
f?(x)?0,则f(x)在x0取
定理五（极值的第二充分条件） 设f(x)在的某领域?(x0,?)内一阶可导，在x?x0处二阶可导，且f?(x0)?0，f??(x0)?0,(i)若f??(x0)?0，则f(x)在x0取得极大值；(ii)若f??(x0)?0，则
f(x)在x0取得极小值.
极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.
2.证明方法
（1）构造辅助函数f(x)，并取定区间. △如何构造辅助函数？
①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数（见例5）； ②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数（见例6）；
③当不等式形如g(x)?a（或g(x)?a）（a为常数）时，可设g(x)为辅助函数（见例7）.
(2)求出f(x)在所设区间上的极值与最大、最小值. △极值与最大、最小值的求法
①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.
②最大、最小值的求法：（1）闭区间[a,b]上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点a,b处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间(a,b)内可导函数的最大值、最小值的求法：若f(x)在(a,b)内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.
3.例
5例5：证明：当x?0时有x?5x?4.
分析：利用差式构造辅助函数f(x)?x?5x?4,(x?0)，这与前面利用函数单调性定义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同，但由于f(x)在(0,??)上不是单调函数，（因对任意x1,x2?0，且
x1?x2,f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?5(x1?x2)，不能判断f(x)的符号）.所以不能用可导函数的单调
555性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之.函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之．
证明：构造辅助函数f(x)?x5?5x?4,(x?0)，则有
4222解得x??1，其中只有x?1在f?(x)?5x?5?5(x?1)(x?1)?5(x?1)(x?1)(x?1),令f?(x)?0，
区间(0,??)内，由limf(x)?limx?5x?4?f(1)，有f(x)在x?1点连续．因当0?x?1时，
x?1x?15f?(x)?0，则f(x)在(0,1)上为减函数；当x?1时，f?(x)?0，则f(x)在(1,??)上为增函数；由定理
四可知，f(x)在x?1处取得极小值，即f(1)?0为区间(0,??)上的最小值，所以当x?0时，有
f(x)?f(1)?0．故x?5x?4?0(x?0),即x?5x?4(x?0)．
55
例6：设a?0,b?0，则(a?1b?1)b?1ab?()． b分析：此不等式两边含有相同的“形式”：(AB)，可将不等式变形为
B(a?1)abb?1?(b?1)bbb?1，可构造
辅助函数f(x)?(x?1)xbb?1(x?0)．
证明：将不等式变形为
(a?1)abb?1?(b?1)bbb?1，构造辅助函数f(x)?(x?1)xbb?1(x?0)，则有
f?(x)?(x?1)xxbb?12b(x?b)，令f?(x)?0，则有x?b．当0?x?b时，f?(x)?0，所以f(x)单调递
减；当x?b时，f?(x)?0，则f(x)单调递增．因此，由定理四可知f(x)在x?b时取得极小值，即最
(a?1)abb?1小值．所以当?a?(0,??)，有f(a)?
?f(b)?(b?1)bbb?1，即(a?1b?1)b?1ab?(),(a,b?0)． b例7：证明：若p?1，则对于[0,1]中的任意x有：1?x分析：显然设辅助函数f(x)?xF(0)?f(0)?g(0)?1?12p?1p?(1?x)p?12p?1 ．
12p?1p?(1?x),(0?x?1)，若设g(x)?p，由
?F(1)?0(0?x?1)，故很难用函数单调性的定义去证明．考虑到
pf(0)?f(1)?1，不难看到不等式x?(1?x)p?1，即为f(x)与其端点x?0,x?1处的函数值的大小
比较问题，因而可想到用最值方法试之．
证明：设辅助函数为f(x)?xpp?(1?x),(0?x?1)，则0?x?1时，有：
f?(x)?px定点x?12p?1?p(1?x)p?1?p[xp?1?(1?x)p?1],令f?(x)?0得xp?1?(1?x)p?1,解之得稳
,因函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,因而在[0,1]上有最大值和最小值，已知
111p1p1f(0)?f(1)?1,f()?()?(1?)?p?1.有max{f(x)}?max{1,p?1}?1,min{f(x)}?
x?[0,1]x?[0,1]x?[0,1]22222min{1,12}?p?112p?1x?[0,1],因此对一切x?[0,1],p?1时，有
12p?1?f(x)?1,所以原不等式得证.
4.适用范围
（1）所设函数f(x)在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.
四、用拉格朗日中值定理证明不等式法
1.证明方法根据－拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足下列条件：（I）f(x)在闭区间[a,b]上连续；（ⅱ）f(x)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点?，使得f?(?)?f(b)?f(a)b?a.
拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.
2.证明方法
①辅助函数f(x)，并确定f(x)施用拉格朗日中值定理的区间[a,b]； ②对f(x)在[a,b]上施用拉格朗日中值定理；
③利用?与a,b的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式.
3.例
例8：证明：当x?0,x1?x?ln(1?x)?x.
11?x分析：所证不等式中的函数ln(1?x)的导数为 ，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用
拉格朗日中值定理试之.由于ln1?0，因此可构造函数的改变量ln(1?x)?ln1，则相应自变量的改变量
11?xln(1?x)?1n1(1?x)?1为x，原不等式等价于：值定理去证明.
??1，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中
证明：构造函数f(t)?lnt，因f(t)在[1,1?x](x?0)上连续，在(1,1?x)上可导，f(t)在
[1,1?x](x?0)上满足拉格朗日条件，于是存在??(1,1?x)，使
f(1?x)?f(1)(1?x)?1?f?(?)?1?，因
f(1?x)?f(1)?ln(1?x)?ln1?ln(1?x),x1?x
11?x?1??1，所以
11?x?ln(1?x)x?1.
即
?ln(1?x)?x,(x?0).
4.适用范围
当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.
五、用柯西中值定理证明不等式法
1.证明方法根据－柯西中值定理
柯西中值定理：若⑴函数f(x)与g(x)都在闭区间[a,b]上连续；⑵f(x)与g(x)都在开区间(a,b)内 可导；⑶f?(x)与g?(x)在(a,b)内不同时为0；⑷g(a)?g(b). 则在(a,b)内至少存在一点?，使得 f?(?)g?(?)f(b)?f(a)g(b)?g(a)? .
柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.
2.证明方法
①构造两个辅助函数f(x)和g(x)，并确定它们施用柯西中值定理的区间[a,b]； ②对f(x)与g(x)在[a,b]上施用柯西中值定理； ③利用?与a,b的关系，对柯西公式进行加强不等式.
3.例
例9：设a?e,0?x?y??2，证明a?a?(cosx?cosy)alna.
yyxx分析：原不等式可等价于
a?axcosy?cosx??alna.可看出不等式左边可看成是函数f(t)?a
xt与g(t)?cost在区间[x,y]上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.
ay证明：原不等式等价于
?axcosy?cosx??alna，可构造函数f(t)?a，g(t)?cost,因f(t),g(t)
xtt均在[x,y]上连续，在(x,y)上可导，且f?(t)?alna?0，由于0?x?y??2，则
g?(t)??sint?0,g(x)?coxs?g(y)?coys，所以f(t),g(t)在[x,y]上满足柯西中值条件，于是存