在??(x,y)，使得
f?(?)g?(?)x?f(y)?f(x)g(y)?g(x)?ay?axcosy?cosxx?alna?sin???，又因a?e,??(x,y),
0?x?y??2,有a?a,?1sin?y?1,lna?1，得到alna?alnasin?,?alna??xalnasin?? ,因此
ay?axcosy?cosx??alna,即ax?axx?(cosx?cosy)alna.
4.适用范围
当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.
六、上述二、三、四、五种方法小结
前面二、三、四、五种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式， 有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式.三者有何区别：
⑴若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式f(x)?g(x),x?(a,b)，其两端函数f(x),g(x)均可导，且F(a)?f(a)?g(a)或F(b)?f(b)?g(b)有一为0时，宜用函数的单调性.
⑵若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理.
⑶若所证不等式f(x)?g(x),x?(a,b)，两端函数f(x),g(x)均可导，但F(x)?f(x)?g(x)不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明.
七、用函数的凹凸性证明不等式
1.证明方法根据－凹凸函数定义及其定理和詹森不等式
定义：设f(x)为定义在区间I上的函数，若对于I上任意两点x1,x2和实数??(0,1)，总有 f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2),则称f(x)为I上的凸函数，若总有 f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2),则称f(x)为I上的凹函数.
定理六：设f(x)为I上的二阶可导函数，则f(x)为I上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I上 f??(x)?0(或f??(x)?0) .
命题（詹森不等式） 若f(x)在[a,b]上为凸函数，对任意的xi?[a,b],?i?0(i?1,2?n)且
nnin??i?1?1,则f(??ixi)?i?1??i?1if(xi).该命题可用数学归纳法证明.
函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系.
2.证明方法：
①定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数f(x)，并讨论f(x)在所给区间上的凹凸性. ②詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式.
3.例
例10：证明：当x?0,y?0时, xlnx?ylny?(x?y)ln分析：不等式等价于：
xlnx?ylny2?(x?y2)lnx?y2x?y2.
.不等式两边含有相同“形式”：tlnt,
?f(x?y2).只要证明f(t)
可设辅助函数f(t)?tlnt(t?0).因此原不等式可化为要证
f(x)?f(y)2在(0,??)上为凸函数，即证f(x)在(x,y)内f??(x)?0即可.
证明（定义证明法）：设f(t)?tlnt(t?0).有f?(t)?lnt?1,f??(t)?为凸函数.对任意x?0,y?0(x?y)，有
f(x)?f(y)2?f(x?y21t?0(t?0).则f(t)在(0,??)
)(取??12).(要使f(x)与g(x)的系
x?y2数相同，当且仅当??1??时成立，即??
12).因此xlnx?ylny?(x?y)ln.
例11：若A,B,C是?ABC的三内角，则sinA?sinB?sinC?323.
分析：不等式左边为sinx的函数的和，考虑构造凸函数f(x)??sinx.
证明（詹森不等式）：令f(x)??sinx,0?x??，则f??(x)?sinx?0.则f(x)是(0,?)上的凸函
3数, 0?A,B,C??,取?1??2??3，由??i?1，得到?1??2??3?i?113，由詹森不等式结论得：
?sinA?B?C3??13(sinA?sinB?sinC),因A,B,C是?ABC的三内角，则A?B?C??，可
得
13(sinA?sinB?sinC)?sin?3?32.即sinA?sinB?sinC?323.
4.适用范围
当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.
八、用泰勒公式证明不等式法
1.证明方法根据－泰勒定理
泰勒定理：若函数f(x)满足如下条件：
⑴在闭区间[a,b]上函数f(x)存在直到n阶连续导数;⑵在开区间(a,b)内存在f(x)的n?1阶导数，则对任何x?(a,b)，至少存在一点??(a,b)，使得:
f??(a)2!f(n)f(x)?f(a)?f?(a)(x?a)?(x?a)???2(a)n!(x?a)?nf(n?1)(a)(n?1)!(x?a)n?1. 泰勒公式
揭示了多项式与函数之间的关系.
2.证明方法
①根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式；
②根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止.（注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行①前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使②不会过于繁琐.）
3.例
例12：设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)?f(1),且f??(x)?2，试证明：f?(x)?1. 分析：根据题设条件，f(x)在[0,1]上二阶可导，且函数值f(0)?f(1)，f??(x)?2，可写出函数f(x)在x处的一阶泰勒公式，并取考察点0或1，利用相应的泰勒公式，对f?(x)作估计.
证明：取0?x?1，由泰勒公式分别有：f(0)?f(x)?f?(x)(0?x)?f(1)?f(x)?f?(x)(1?x)?12122f??(?1)(0?x),0??1?x,
2f??(?2)(1?x),0??2?1.由于f(0)?f(1)，则将以上两式做差，整理
得：f?(x)?1222[f??(?1)x?f??(?2)(1?x)],所以f?(x)?1222[f??(?1)x?f??(?2)(1?x)]
?12[2x?2(1?x)]?x?(1?x)2222?1?2x(1?x)?1,(2x(1?x)?0) ．因此原不等式成立.
4.适用范围
当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式.
九、用幂级数展开式证明不等式法
１．证明方法根据－几个重要的初等函数的幂级数展开式 几个重要的初等函数的幂级数展开式如下：
e?1?x?x12!x???21n!x??,x?(??,??)；
nsinx?x?13!x???(?1)3n?11(2n?1)!x2n?1??,x?(??,??)；
cosx?1?11?x12!x?214!x??(?1)4n1(2n)!x2n??,x?(??,??)；
?1?x?x???x??,x?(0,1)；
2nln(1?x)?x?12x?213x???(?1)3n?1xnn??,x?(?1,1] ．
初等函数是中学数学教学重点，某些初等函数可展开成幂级数，在展开式中添加或删去某些幂级数时， 可很快证明出某些含幂级数的不等式.
2.证明方法
先把初等函数展开成幂级数，然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式.
3.例
例13:当x?(0,1)，证明证明：因
11?x,e2x1?x1?x?e2x.
1?x1?x?(1?x)(1?x?x???x??)?
2n分别可写成幂级数展开式，有：
1?2x?2x???2x??,x?(0,1)．e2n2x?1?2x?n222!x???2n22nn!x??,x?(??,??)．
1?x1?xn则左边的一般项为2x，右边的一般项为
4.适用范围
n2xn!n，因此当n?3,2?n!，所以?e2x,x?(0,1).
当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幂级数展开式法来证明此不等式.
十、用定积分理论来证明不等式法
1.证明方法根据－定积分的性质和变上限辅助函数理论
定积分性质之一：设f(x)与g(x)为定义[a,b]在上的两格可积函数，若f(x)?g(x),x?[a,b] 则?f(x)dx?ab?bag(x)dx.
微积分学基本定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则由变动上限积分?(x)??xaf(t)dt,x?[a,b]，
定义的函数?在[a,b]上可导，而且??(x)?f(x).也就是说，函数?是被积函数f(x)在[a,b]上的一个原函数.
微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.
2.证明方法
①利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数f(x)，g(x)，先证出f(x)?g(x)，然后由定积分的性质可证?f(x)dx?ab?bag(x)dx（见例14）；
②构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数， 利用变上限积分
3.例 例14：证明：
22?xaf(t)dt及函数的单调性解决此类不等式（见例15）.
?1xlnxdx??1xlnxdx.
证明（利用定积分性质）：当x?[1,2]时，x?x,lnx?0，则xlnx?xlnx.因xlnx，
xlnx在[1,2]上均为连续函数.则xlnx,xlnx在[1,2]均可导.由定积分性质可知：
?
21xlnxdx??21xlnxdx．
例15：设f(x)在[a,b]上连续，且单调递增，试证明?baxf(x)dx?a?b2?baf(x)dx.
分析：可将此定积分不等式看成是数值不等式，并将常数b变为变数t，利用差式构造辅助函数： F(t)??taxf(x)dx?a?t2?taf(x)dx，则要证F(b)?F(a)?0.
t证明：（利用构造变上限辅助函数）：设辅助函数F(t)?对?t?[a,b]，F?(t)?tf(t)?12?2axf(x)dx?f(t)?12a?t2ta?taf(x)dx.显然F(a)?0．
12?taf(x)dx?a?t2f(t)?t?a?f(x)dx??[f(t)?atf(x)]dx
x?(a,t)．因为f(x)单调递增，则F?(t)?0，则F(t)单调递增，所以F(b)?F(a)?0,(b?a).
b因此?
axf(x)dx?a?b2?baf(x)dx.
4.适用范围
当不等式含有定积分（或被积函数f(x)?g(x)时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.
十一、引入参数证明不等式法
1.证明方法根据－将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明，用微积分理论研究函数的性质，从而证明不等式.
２．证明方法
引入参数t，构造辅助函数?[f(x)?tg(x)]dx?0，得到关于t的二次多项式，利用判别式??0来
ab2证明不等式.
3.例
例16：设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，证明：(?f(x)g(x)dx)?ab2bb?af(x)dx?g(x)dx（柯
a22西－许瓦茨不等式）.
分析：欲证不等式是函数f(x),g(x)，以及f(x)g(x)的积分不等式，引入参数t，考虑辅助函数
22[f(x)?tg(x)]在区间[a,b]上的积分.
证
明
：
利
b2用定积分的性质易知
?ba[f(x)?tg(x)]dx?02，即
t2?bbag(x)dx?2t?f(x)g(x)dx?ab2b2aa2?baf(x)dx?0.这是关于t的二次多项式不等式，因此，判别式：
b22??4(?f(x)g(x)dx)?4?f(x)dx?g(x)dx?0，即：
a(?f(x)g(x)dx)?a2?baf(x)dx?g(x)dx．
a2b2
4.适用范围
22当积分式含有平方项f(x)，或f?(x)的情形.
参考文献：
1．《高等数学选讲》 2．《数学分析》 3．《常微分选讲》