90°即可与自身重合,这样的直线PQ有3条;当P,Q是正方体的体对角线时,此正方体绕着直线PQ旋转可与自身重合,这样的直线PQ有4条;当P,Q是对棱两边的中点时,此正方体绕着直线PQ旋转180°即可与自身重合,这样的直线PQ有6条,所以符合条件的直线PQ有3+4+6=13条.
13.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为 .
13.
【解析】取B1C1的中点E1,连接EE1,D1E1,作PH⊥D1E1,垂足为H,连接
C1H,则 PH∥CC1.过点P作PP1∥C1H交CC1于点P1,则四边形PP1C1H为矩形,故点P到线段CC1的距离为C1H,当点P在线段D1E上运动时,H在D1E1上运动,故当D1E1⊥C1H时C1H最小,所以所求最小值为△C1D1E1以D1E1为底边上的高,又D1E1=
,D1E1·C1H=D1C1·C1E1,可求得C1H=
.
14.(2015·太原一模)已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC,当三棱锥D-ABC的体积取最大值时,其外接球的体积为 . 14.
【解析】当三棱锥D-ABC的体积最大时,平面DAC⊥平面ABC,BC⊥AC,
所以BC⊥平面ACD.在直角△BCD中,直角边BC=,CD=1,则BD=.又
AD=1,AB=2,所以AD⊥BD,所以该三棱锥的外接球的球心在AB的中点,即外接球
的直径2R=2,体积为πR3=π. 三、解答题(共50分)
15.(12分)(2016·惠州调研)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C,AC1与A1C相交于点D.
(1)求证:BD⊥平面AA1C1C; (2)求二面角C1-AB-C的余弦值.
15.【解析】(1)由题意可知侧面AA1C1C是菱形,D是AC1的中点,因为BA=BC1,所以BD⊥AC1,
又平面ABC1⊥平面AA1C1C,且BD?平面ABC1,平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1, 所以BD⊥平面AA1C1C.
(2)由(1)知BD⊥平面AA1C1C,CD?平面AA1C1C,所以CD⊥BD, 又CD⊥AC1,AC1∩BD=D,所以CD⊥平面ABC1, 过D作DH⊥AB,垂足为H,连接CH,则CH⊥AB, 所以∠DHC为二面角C1-AB-C的平面角. 在Rt△DAB中,AD=1,BD=
,AB=2,又DC=
,
所以DH=,CH=,
所以cos ∠DHC=
,即二面角C1-AB-C的余弦值是.
16.(13分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,∠BAD=90°,AD∥
BC,且A1A=AB=AD=2BC=2,点E在棱AB上,平面A1EC与棱C1D1相交于点F.
(1)证明:A1F∥平面B1CE;
(2)若E为棱AB的中点,求二面角A1-EC-D的余弦值; (3)求三棱锥B1-A1EF的体积的最大值. 16.【解析】(1)因为ABCD-A1B1C1D1是棱柱, 所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又因为平面ABCD∩平面A1ECF=EC,平面A1B1C1D1∩平面A1ECF=A1F, 所以A1F∥EC.
又因为A1F?平面B1CE,EC?平面B1CE, 所以A1F∥平面B1CE.
(2)因为AA1⊥底面ABCD,∠BAD=90°,
所以直线AA1,AB,AD两两垂直,以A为原点,以直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴和z轴,如图建立空间直角坐标系. 则A1(0,0,2),E(1,0,0),C(2,1,0), 所以
=(1,0,-2),
=(2,1,-2).
设平面A1ECF的法向量为m=(x,y,z), 由
·m=0,
·m=0,
得
令z=1,得m=(2,-2,1).
又因为平面DEC的一个法向量为n=(0,0,1), 所以cos
,
由图可知,二面角A1-EC-D的平面角为锐角, 所以二面角A1-EC-D的余弦值为.
(3)过点F作FM⊥A1B1于点M,
因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1,FM?平面A1B1C1D1, 所以FM⊥平面A1ABB1, 所以
×FM=
×FM=FM.
因为当点F与点D1重合时,FM取到最大值2,
所以当点F与点D1重合时,三棱锥B1-A1EF的体积的最大值为.
17.(12分)(2015·广东六校联考)如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面,记底面上一边AB=t(0 (1)当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,求二面角B-A1C-D的值; (2)线段A1C上是否存在一点P,使得A1C⊥平面BPD,若有,求出P点的位置,没有请说明理由. 17.【解析】(1)根据题意可知,直线AA1,AB,AD两两垂直,以直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 长方体体积为V=t(2-t)×1=t(2-t)≤=1. 当且仅当t=2-t,即t=1时体积V有最大值为1. 所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,底面四边形ABCD为正方形, 则A1(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0), =(1,0,-1), =(0,1,0), 设平面A1BC的法向量为m=(x,y,z), 由 取x=z=1,得m=(1,0,1), 同理可得平面A1CD的一个法向量为n=(0,1,1), 所以cos , 又二面角B-A1C-D为钝角,故二面角的值是120°. (2)根据题意有A1(0,0,1),B(t,0,0),C(t,2-t,0),D(0,2-t,0), =(t,2-t,-1),若线段A1C上 存在一点P满足要求,不妨设=λ,可得P(λt,λ(2-t),1-λ), 所以=(λt-t,λ(2-t),1-λ), =(-t,2-t,0). 又因为 解得t=1,λ=, 所以只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P,位置是线段A1C上,A1P∶PC=2∶1处. 18.(13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.