(1)证明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;
(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为AM的长.
18.【解析】方法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).
,求线段
(1)易得
=(1,0,-1),
=(-1,1,-1),于是
=0,
所以B1C1⊥CE. (2)
=(1,-2,-1).
设平面B1CE的法向量m=(x,y,z), 则
m=(-3,-2,1).
由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故CEC1的一个法向量. 于是cos >= =-, =(1,0,-1)为平面 消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为 从而sin 所以二面角B1-CE-C1的正弦值为 . (3) =(0,1,0), =(1,1,1).设=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有 =(λ,λ+1,λ),可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量. 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则 sin θ=|cos< >|= .于是 ,解得λ=,所以AM=. 方法二:(1)因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E= ,B1C1= ,EC1= ,从而B1E2=B1 +E , 所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E, 又CC1,C1E?平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE?平面CC1E,故B1C1⊥CE. (2)过B1作B1G⊥CE于点G,连接C1G. 由(1),B1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G, 所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角. 在△CC1E中,由CE=C1E= ,CC1=2,可得C1G= . 在Rt△B1C1G中,B1G=, 所以sin∠B1GC1=, 即二面角B1-CE-C1的正弦值为 . (3)连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H, 可得MH⊥平面ADD1A1,连接AH,AM, 则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角. 设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH= x,AH= x. 在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=x. 在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1. 由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°, 得 x2=1+x2+ x, 整理得5x2-2 x-6=0, 解得x=.所以线段AM的长为.