解答题训练（十六）限时60分钟
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 18．（本小题满分14分）
在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c．已知c?2,C?（1）若△ABC的面积等于3，求a、b；
（2）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求△ABC的面积．
19．（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，(p – 1)Sn = p2 – an，n ∈N*，p > 0且p≠1，数列{bn}满足bn = 2logpan． （1）若p =
?b?1，设数列?n?的前n项和为Tn，求证：0 < Tn≤4； 2?an??3．
（2）是否存在自然数M，使得当n > M时，an > 1恒成立？若存在，求出相应的M；
若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分15分）
已知如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1， BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．
P （1）求异面直线PA与CD所成的角的大小； （2）求证：BE⊥平面PCD； （3）求二面角A—PD—B的大小．
第 - 1 - 页 共 9 页
E C D
A B
21．（本小题满分15分）
如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分 向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B?；折痕与AB交于点E，以 EB和EB′为邻边作平行四边形EB′MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角 坐标系．（如下图）：
[来源:Zxxk.Com]
y A （1）求点M的轨迹方程；
（2）若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称
的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边
B? D E C? l A1B1,B1C1,C1D1分别与曲线S切于点P,Q,R.
求梯形A1B1C1D1面积的最小值．
22．（本小题满分14分）
已知函数f?x??x?xlnx．
（1）求函数f?x?的图像在点(1,1)处的切线方程；
（2）若k?Z，且k(x?1)?f?x?对任意x?1恒成立，求k的最大值； （3）当n?m?4时，证明mn
B O C x ?nm???nm?．
mn第 - 2 - 页 共 9 页
解答题训练（十六）参答
18．（本小题满分14分）
解：（1）由余弦定理及已知条件得，a?b?ab?4，
又因为△ABC的面积等于3，所以221absinC?3，得ab?4． 2?a2?b2?ab?4，联立方程组?解得a?2，b?2．……………………..6分
?ab?4，（2）由题意得sin(B?A)?sin(B?A)?4sinAcosA，
即sinBcosA?2sinAcosA， 当cosA?0时，A???4323，B?，a?，b?， 2 633当cosA?0时，得sinB?2sinA，由正弦定理得b?2a，
?a2?b2?ab?4，2343联立方程组?解得a?，b?．
33b?2a，?所以△ABC的面积S?
19．（本小题满分14分）
（1）解：由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*)．
由(p – 1)Sn – 1 = p2 –an?1． ① – ②得
an1?(n≥2) ． an?1p123．………………………….14分 absinC?23
① ②
∵an > 0 (n∈N*)．
又(p – 1)S1 = p2 – a1，∴a1 = p． {an}是以p为首项，?1?an = p??p????n?11为公比的等比数列． p?p2?n．
bn = 2logpan = 2logpp2 – n．
∴bn = 4 – 2n ． ???? 4分
第 - 3 - 页 共 9 页
证明：由条件p =
∴Tn =
1得an = 2n – 2． 2
① ②
20?2?4?64?2n． ???????222232?1202n?2120?2?4?64?2nTn?0??2?3?4???n?1 ． 2222222① – ②得：
1?2?2?2?2?24?2nTn?4?0?1?2?3???n?2?n?1 22222221?4?2n?11= 4 – 2 ×?1??2???n?2??n?1
2?2?22?1?1???2= 4 – 2 ×??11?2n?1?4?2n． 2n?1∴Tn =
4nn??0． ???? 8分 2n?12n?3n2n?3?n?12?n?n?3． 2n?42Tn – Tn – 1 =
当n > 2时，Tn – Tn – 1< 0． 所以，当n > 2时，0 < Tn≤T3 = 3．
又T1 = T2 = 4，∴0 < Tn≤4． ????10分
（2）解：若要使an > 1恒成立，则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论．
20．（本小题满分15分）
当p > 1时，2 – n > 0，n < 2． 当0 < p < 1时，2 – n < 0，n > 2． ∴当0 < p < 1时，存在M = 2．
当n > M时，an > 1恒成立． ???? 14分
解法一：如图，以B为原点，分别以BC、BA、BP为x，y、z轴，建立空间直角坐标
系，则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,1,0),D(1,1,0),P(0,0,1),又DE?2PE
112?E(,,)
333????????（1）?PA?(0,1,?1),CD?(?1,1,0)
????????????????PA?CD11???????cos?PA,CD??????． |PA|?|CD|2?22第 - 4 - 页 共 9 页
?异面直线PA与CD所成的角为60?．………………….5分 ????112????????（2）?BE?(,,),PD?(1,1,?1),PC?(2,0,?1).
333????????112?BE?PD??1??1??(?1)?0. 333????????112??2??0?(?1?)? BE?PC 0. 333z P E ?BE?PD,BE?PC,又PD?PC?P． ?AB?平面PCD. ………. 10分
?（3）设平面PAD的一个法向量为n0?(x,y,z)， x C D B A y ???????n0?PA?0?y?z?0则由?????得?． ???n0?PD?0?x?y?z?0?令z?1,则n0?(?2,1,1).
?????又BP?(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n1?(x1,y1,z1),
???????n1?BP?0?z1?0则由?????得?． ???n1?PD?0?x1?y1?z1?0?令x1?1,则n1?(1,?1,0)．
????n?n1?2?1?1?(?1)3． ?cos?n0,n1???0????2|n0|?|n1|6?2????n0,n1??120? ． ……………………….15分
又二面角A—PD—B为锐二面角，故二面角A—PD—B的大小为60?．
解法二：（1）取BC中点F，连结AF，则CF=AD，且CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD．
∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角． ∵PB⊥平面ABCD， ∴PB⊥BA，PB⊥BF. ∵PB=AB=BF=1， ?AB?BC,∴PA=PF=AF=2. ??PAF是正三角形,?PAF?60?
即异面直线PA与CD所成的角等于60?．…………5分
第 - 5 - 页 共 9 页