第2章习题解析
2-1 如图2-1所示系统，试以uC( t )为输出列出其微分方程。
题2-1图
解 由图示，有
iL?uCdR?CuCdt 又
i1tL?L?0(uS?uC)dt
故
1L(uuu?CS?C)?R?Cu?C? 从而得
u??(t)?1RCu?11CC(t)?LCuC(t)?LCuS(t)
2-2 设有二阶系统方程
y??(t)?4y?(t)?4y(t)?0
在某起始状态下的0+起始值为
y(0?)?1,y?(0?)?2
试求零输入响应。
解 由特征方程
?2 + 4? + 4 =0
得 ?1 = ?2 = ?2 则零输入响应形式为
yzi(t)?(A1?A2t)e?2t
由于
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yzi( 0+ ) = A1 = 1 ?2A1 + A2 = 2
所以
A2 = 4
故有
yzi(t)?(1?4t)e?2t,t?0
2-3 设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。 (a) f( t ) = 2?( t ?1 ) ? 2?( t ?2 ) (b) f( t ) = sin?t[?( t ) ? ?( t ?6 )]
解 (a)和(b)的波形如图p2-3所示。
图p2-3
2-4 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。
题2-4图
解 (a) f( t ) = ?( t ) ? 2?( t ?1 ) + ?( t ?2 )
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(b) f( t ) = ?( t ) + 2?( t ?T ) + 3?( t ?2T )
2-5 试计算下列结果。 (1) t?( t ? 1 )
??(3) ?(2) (4)
t?(t?1)dt
πcos(?t?)?(t)dt 0?3????0?0?e?3t?(?t)dt
解 (1) t?( t ? 1 ) = ?( t ? 1 )
???t?(t?1)dt?????(t?1)dt?1 ??ππ1(3) ?cos(?t?)?(t)dt??cos(?)?(t)dt?
0?0?332(2) (4)
2-6 设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f? ( t )的表达式，对(b)写出f? ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。
题2-6图
解 (a)
1,20?t?2
???0?0?e?(?t)dt??e?(t)dt???(t)dt?1
0?0??3t0??3t0?f? ( t ) = ?( t ? 2 )， t = 2
?2?( t ? 4 )， t = 4
(b) f? ( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) ? 2?( t ? 3 ) + 2?( t ? 4 )
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图p2-6
2-7 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和uL，对(b)求冲激响应uC和iC，并画出它们的波形。
题2-7图
解 由图(a)有
Ldi?uS(t)?Ri dt即
diR1?i?uS(t) dtLL当uS( t ) = ?( t )，则冲激响应
1?Lth(t)?i(t)?e??(t)
L则电压冲激响应
diR?th(t)?uL(t)?L??(t)?eL??(t)
dtLRR对于图(b)RC电路，有方程
CduCu?iS?C dtR8
即
??uC11uC?iS RCCt当iS = ?( t )时，则
1?h(t)?uC(t)?eRC??(t)
C同时，电流
duC1?RCiC?C??(t)?e??(t)
dtRCt
2-8 设有一阶系统方程
y?(t)?3y(t)?f?(t)?f(t)
试求其冲激响应h( t )和阶跃响应s( t )。
解 因方程的特征根? = ?3，故有
x1(t)?e?3t??(t)
当h( t ) = ?( t )时，则冲激响应
h(t)?x1(t)?[??(t)??(t)]??(t)?2e?3t??(t)
阶跃响应
s(t)??t10h(?)d??3(1?2e?3t)?(t)
2-9 试求下列卷积。 (a) ?( t + 3 ) * ?( t ? 5 )
(b) ?( t ) * 2
(c) te?t??( t ) * ?? ( t )
解 (a) 按定义
?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) =
?????(??3)?(t???5)d?考虑到? < ?3时，?( ? + 3 ) = 0；? > t ?5时，?( t ?? ? 5 ) = 0，故
?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) =?t?5?3d??t?2,t?2
也可以利用迟延性质计算该卷积。因为
?( t ) * ?( t ) = t?( t ) f1( t ? t1 ) * f2( t ? t2 ) = f( t ?t1 ?t2 )
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