第3章习题解析
3-1 求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。
题3-1图
解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为
f(t)?ATt
系数
a1T0?T?0f(t)dt?1TAtT?0Tdt?A2 a2T2ATn?T?0f(t)cosn?1tdt?T2?0t?cosn?1tdt
?2A?tsinn?T1t?T2???n???0 10??b2AT2ATn?T?0f(t)sinn?1tdt?T2?0t?sinn?1tdt
?2A?tcons?T1t?T2?????A ?n?10??nπ所以三角级数为
)?A?f(t2??Asinn?1t
n?1nπ
3-2 求周期冲激序列信号
?T(t)?n???(t?nT)
???的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性？
解 冲激串信号的复系数为
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1T1Fn??2T?(t)e?jn?1tdt?T?2T 所以
1?jn?1t ?T(t)??eTn???
因Fn为常数，故无收敛性。
3-3 设有周期方波信号f( t )，其脉冲宽度? = 1ms，问该信号的频带宽度（带宽）为多少？若?压缩为0.2ms，其带宽又为多少？
解 对方波信号，其带宽为?f?当?1 = 1ms时，则
?f1?11?Hz，
?11?1?1000Hz 0.001当?2 = 0.2ms时，则
?f2?
?2?1?5000Hz
0.00023-4 求题3-4图示信号的傅里叶变换。
题3-4图
解 (a)因为
tf( t ) = ?0,,t??
t??
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为奇函数，故
F(?)??j2??t0?sin?tdt
??j2??2[sin?????cos??]
?j2?[cos???Sa(??)]
或用微分定理求解亦可。
(b) f( t )为奇函数，故
F(?)??j2??0(?1)sin?tdt
?2j?[co??s?1]?j42???sin(2) 若用微分-积分定理求解，可先求出f? ( t )，即
f? ( t ) = ?( t + ? ) + ?( t ? ? ) ? 2?( t )
所以
f?(t)?F1(j?)?ej???e?j???2?2cos???2
又因为F1( 0 ) = 0，故
F(?)?1j?F21(?)?j?(cos???1)
3-5 试求下列信号的频谱函数。 (1) f(t)?e?2t
(2) f(t)?e?atsin?0t??(t)
解 (1) F(?)????t0?t??f(t)e?jdt????e2te?j?tdt??0e?2te?j?dt
?1142?j??2?j??4??2 (2) F(?)???f(t)e?j?tdt???e?at?1(ej?0t02j?e?j?0t)e?j?t??dt?1??[ej?0t?e(?a?j?)t?e?j?0t?e(?a?j?)t2j0]dt ?1?11?2j??j?)?j???(???j?)?j??
0(0??12j?0?02j?(??j?)2??2?(??j?)2??2 00
3-6 对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为
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F(?)?A?Sa2(??)
2
题3-6图
证 因为
A(1?t?),t??
f ( t ) =
0，| t | > ? 则
F(?)?2??0A(1?t?)cos?tdt
?2A?2?(1?cos??) ?4A2sin2(????2)
?A?Sa2(??2)
3-7 试求信号f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t的傅里叶变换。
解 因为
1 ? 2??(?)
2cost ? 2?[?(? ? 1) + ?(? + 1) ] 3cos3t ? 3?[?(? ? 3) + ?(? + 3) ]
故有
F(? ) = 2?[?(?) + ?(? ? 1) + ?(? + 1) ] + 3?[?(? ? 3) + ?(? + 3) ]
3-8 试利用傅里叶变换的性质，求题3-8图所示信号f2( t )的频谱函数。
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题3-8图
解 由于f1( t )的A = 2，? = 2，故其变换
F21(?)?A?Sa(??2)?4Sa2(?)
根据尺度特性，有
ft1(2)?2F1(2?)?8Sa2(2?) 再由调制定理得
f(t)?ft21(2)cosπt?F2(?)
F?12(?)2[8Sa2(2??2π)?8Sa2(2??2π)]
?4Sa2(2??2π)?4Sa2(2??2π) ?sin2(2?)sin2(2?)(??π)2?(??π)2
3-9 试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。 (1) f( t ) = Acos(?0t) ? ?( t ) (2) f( t ) = Asin(?0t)?( t )
解 （1）因为
Acos(?0t)?Aπ[?(???0)??(???0)]
?(t)?π?(?)?1j?
所以由时域卷积定理
F(?)?Aπ[?(???0)??(???0)]?[π?(?)?1j?]
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