Ncos??mg?may （2）
M的运动方程为：Nsin??MaM （3）
下面列出约束条件的方程：取M作为参考系，设m在其中的相对加速度为a?，在x,y
方向的分量分别为a?a?a?yx与y，那么：tan??a?
x利用相对运动的公式，am?aM?a? 所以：a?x?ax?aM a?y?ay 于是：tan??a?ya??ayxa
x?aM即：axsin??aycos??aMsin? （4） 由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：
aM?msin?cos?M?msin2?g
2-8. 圆柱形容器内装有一定量的若它们一起绕圆柱轴以角速度?匀速试问稳定旋转时液面的形状如何？ 解：受力分析如图
Nsinα?Δmω2y （1） Ncosα?Δmg （2）
ω2 两式相比 tanα?yg?dzdy
22
?dz??ωyωgdy z?2gy2?C
当 y?0 时 z?z0 所以 C?z0
z?ω222gy?z0 稳定旋转时液面是一个抛物面
由于旋转后成为立体，故方程变为【z??22g(x2?y2)?z0】
2-9. 质量为m2的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦形物质量为m1，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为?，求
液体，转动，
滑动，劈释放后
两物体的加速度及它们的相互作用力。
解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，m1与m2的运动有联系的，m1沿地面运动，m2沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m2的运动为：
?Nsin??m2ax （1）
Ncos??m2g?m2ay （2）
m1的运动方程为：Nsin??m1a1 （3）
下面列出约束条件的方程：取m1作为参考系，设m2在其中的相对加速度为a?，在x,y方向的分量分别为ax?a?y?a与y，那么：tan??
a?x利用相对运动的公式，a2?a1?a?
?ax?a1 所以：a?x a?y?ay 于是：tan??a?ya?x?ayax?a1
即：axsin??aycos??a1sin? （4） 由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得： a1?m2sin?cos?m1?m2sin2?g；a2??m1sin?cos?m1?m2sin2?g
g；a??(m1?m2)sin?m1?m2sin2?g
相互作用力N=
m1m2cos?m1?m2sin?22-10. 一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角?绕竖直轴作匀角速
度转动，角速度为?，求：小环平衡时距杆端点O的距离r. 解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，所以可列式：
Nsin??mg Ncos??m?rsin?
2z ?r O g所以，可得：r??tan?sin?2
2-11. 设质量为m的带电微粒受到沿x方向的电力F?(b?cx)i，计算粒子在任一时刻t的速度和位置，假定t?0时，v0?0,F、x、t的单位分别为kg、N、m、s.
x0?0.其中b、c为与时间无关的常数，m、
解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：F?(b?cx)i?mdxdt22，
整理可得二阶微分方程：m令?2?cmdxdt22?cx?b?0。
下面分c为正负再做进一步讨论。
2bbdxb当c?0时，2??2x??0 ，可得：x?cos?t?
ccmdt 一次求导，得到：v??2bc?sin?t
bbdxb?t??t(e?e)? 当c?0时，2??2x??0 ，可得：x?2ccmdt 一次求导，得到：v?b?2c(e?t?e??t)
2-12. 在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R，一靠圆筒内壁运动，摩擦系数为?，在t?0时，球的速率为v0，时刻球的速率和运动路程。 解：在法向上有 N?mv2小球紧求任一
R 而 f?μN
v2 在切向上有 ?f?mdvdt 由上面三个式子可得
dvdt??μR
v0RR?v0μt ??vv01vdv?2?t0μRtdt v?
S??t0vdt?v0R?dtR?v0μt0?Rμln1(?v0μtR)
2-1. 质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并衡，如图所示．设木板和墙壁之间的夹角为?，当?逐渐增大时，小
的压力将怎样变化？
解：假设墙壁对小球的压力为N1，木板对小球的压力为N2。 由受力分析图可知：
N2sin??mg
保持平球对木板
所以当所以?增大，小球对木板的压力为N2将减小；
同时：N2cos??N1
N1?mgct?g 所以?增大，小球对墙壁的压力N1也减小。
2-2. 质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤
消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：
F??(m1?m2)g F?kx??m1g kx??m2g
所以aA??m1?m2m1g,aB?0.
2-3. 如图所示，用一斜向上的力F(与水平成30°角)，将一G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数?的大小为多少？ 解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：
Fsin??G??N N?Fcos?
重为木块
整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明：
12F?G??32F 即当
12F??32F 此式中F无论为多大，总成立，则可得：
??33
桌面上，
系统原
2-4. 质量分别为m和M的滑块A和B，叠放在光滑水平如图所示．A、B间静摩擦系数为?s，滑动摩擦系数为?k，
处于静止．今有一水平力作用于A上，要使A、B不发生相对滑动，则F应取什么范围？
解：根据题意，分别对A，B进行受力分析，要使A，B不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：a?可得：F??sm（m?M）g
MFmsxm?M??smgM
2-5. 如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？
轮与绳计．系统
解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：
m1g?T?m1a1 2T?m2a2
a2?12a1
45g
则可计算得到：a1?2-6. 如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。 (B) 它的速率均匀增加。
(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。 (D) 它的合外力大小不变。
(E) 轨道支持力的大小不断增加。
轨道是的？
在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀；
外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。
下滑过程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，N?mgsin??mv2R
则E的说法正确。
2-7. 一小珠可在半径为R的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度?转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？
解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为θ，可列式：
Ncos??mg Nsin??m?Rsin?
2所以，可得：cos?? 2?R2-8. 几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一
g上（如图所示）．为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下间最短，则斜面的倾角应选
(A) 60°． (B) 45°． (C) 30°． (D) 15°．
解：根据题意，假设底边长为s，斜面的倾角为θ，可列式：
12gsin?t2竖直面端的时
?scos?