t2?4sgsin2? 当θ=45。时，时间最短。
?B与O?2B系2-9. 如图所示，小球A用轻弹簧O1A与轻绳O2A系住；小球B用轻绳O1住，今剪断O2A绳和O?2B绳，在刚剪断的瞬间，A、B球的加速度量值和方向是否相同？ 解：不同。
对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长没所以弹簧的拉力F不变，A的加速度应该是由簧的拉力提供的合力T，所以：
Fsin??T?ma
有变化，重力和弹
Fcos??mg
所以加速度大小为：a?gtan?，方向为水平方向。
对于b图，在剪断绳子的瞬间，绳子拉力F变化，它将提供物体做圆周运动，的加速度应该有切向加速度和法向加速度。所以：
mgsin??mat T?mgcos??man?mv2R?0
所以加速度大小为：a?gsin?，方向为与绳垂直的切线方向。
2-10. 两质量均为m的小球穿在一光滑圆环上，并由一轻绳相连，环竖直固定放置，在图中位置由静止释放，试问释放瞬间绳上张力为多少？
解：在释放瞬间上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，两者加速度大小相等，方向互相垂直。
Tsin450?ma （1）
0mg?Tsin45?ma （2）
两式联立消去a T?mg2sin450?2mg2
3-1. 如图，一质点在几个力作用下沿半径为R=20m的圆周运动，其中有一恒力F=0.6iN，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。
解：?r?rB?rA??20i?20j
由做功的定义可知：W?F??r?0.6i?(?20i?20j)??12J
3-2. 质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？
?r?r4?r2?(80i?0.5j)?(20i?0.5j)?60i
a ?dv/dt?d2r/dt2?10i F?ma ?m?10i?5i
由做功的定义可知：W?F??r?5i?60i?300J
3-3.劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。
根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为F=mg，k?x?mg 可得此时弹簧的伸长量为：?x??xmgk
12mg由做功的定义可知：W??0kxdx?kx20k?mg2k22
3-4.如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：Wf直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。 解：求在B点的速度： N-G=mv2R 可得：
12mv2?12(N?G)R
mgR?Wf?12mv2?012 由动能定理：
Wf?12
(N?3mg)R(N?G)R?mgR?3-5.一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为F?(?52.8x?38.4x)i，其中
F和x单位分别为N和m．
2（1）计算当将弹簧由x1?0.522m拉伸至x2?1.34m过程中，外力所做之功； （2）此弹力是否为保守力? 解：
（1）由做功的定义可知：
W?x21.34?x1F?dx??0.522(?52.8x?38.4x)dx??26.4(x2?x1)?12.6(x2?x1)22233?69.2J（2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该弹力为保守力。
3-6. 一质量为m的物体，在力F?(ati?btj)的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。
解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
2
v??Fmt??m1(ati?btj)dt?21m2(1ati?213btj)
3所以功率为：
N?F?V?(ati?btj)?21m2(1ati?213btj)?31m2(1at?2313bt)
253-7. 一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为
Ep??ax2?bxy?cz.
（1）求作用力F；
（2）当质点由原点运动到x?3、y?3、z?3位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中Ep的单位为J，x、y、z的单位为m，F的单位为N. 解：（1）由作用力和势能的关系： F???EP?r???(?ax2?bxy?cz)?r?(2ax?by)i?bxj?ck
（2）取一个比较简单的积分路径：r?dxi?dyj?dzk，则积分可得：
W??F?dr??[(2ax?by)i?bxj?ck]?(dxi?dyj?dzk)
=9a-9b-3c
3-8. 轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为m的重物。已知弹簧原长为l，劲
0度系数为k，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x，
0如图所
O?；力
示。取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置的平衡位置O。若取原点为重力势能和弹性势能的势能分别计算重物在任一位置P时系统的总势能。
解：（1）取弹簧原长位置O?为重力势能和弹性势能
零点，则重物在任一位置P（坐标设为x?）时系统的总势能：EP??mgx??12零点，试的势能
kx?
2（2）取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P（坐
EP??mgx?而mg?kx012k（x?x0）?212标设为x）时系统的总势能：
kx02
所以EP??mgx?12k（x?x0）?212kx02?12kx
23-9. 在密度为?1的液面上方，悬挂一根长为l，密度为?2的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运
动，在
?12??2??1的条件下，求细棒下落过程中的最大速度vmax，以及细棒能进入液体的最大
深度H。
解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：?2lsg??1hsg ，则h??2?1l。
h12?slv??2sglh????1gsydy
022在下落过程中，利用功能原理：
?2gl ?1所以：vmax?进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时： ??2sglh????1gsydy 所以H?0H?1?1??2?l 23-10. 若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数k为常数，即f??kv，试求质量为m的卫星，开始在离地心
r0?4R（R为地球半径）陨落到地面所需的时间。
解：根据题意，假设在离地心r0?4R处质点的速度为v1，地面上的速度为v2。提供卫
v2星运动的力为万有引力：mr?G0Mmr2，所以
v2v1?r0R?2
在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出：
fdt??kvdt?mdv
通过分离变量取积分，可 得t?：
v21??v2v1mkl d?mvnt?k3-11. 一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L，质量为m，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？
解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：
W??EP?111mg?l?mgl 48323-12. 起重机用钢丝绳吊运质量为m的物体时以速
率v0
匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为k，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)
解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能：由可得：
x?mkv0
12mv02?12kx，
2分析物体的受力，可得到绳子的拉力为： T?mg?kx?mg?mkv0
3-13. 在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、A边上再放一物体B，它们质量分别为mA和mB，弹簧劲度系数为k，原长为l．用力推B，使弹簧压缩x0，然后释放。求：
（1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后．A还能往前移动多远? 解：（1）当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得到：
12(mA?mB)v2?12kx0，所以：v?2kmA?mBx0;x?l
（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：
12mAv2?12kx ，则： xA?2mAmA?mBx0
3-14. 已知地球对一个质量为m的质点的引力为F??和半径)。
Gmemr3r（me,Re为地球的质量
（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；
（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，计算地面处的势能为：
?EP??Re??f?dr?rb??Gmemrarb11 dr??Gmmer2Re（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：
ReE??????f?dr???Gmemra11 dr?Gmmer2Re两种情况下势能差是完全一样的。
3-15. 试证明在离地球表面高度为h?h??Re?处，质量为m的质点所具有的引力势能近似可表示为mgh.