《现代数字信号处理》课程论文
化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好???。 3.1.2连续小波变换
将任意L(R)空间中的函数f(t )在小波基下展开，称这种展开为函数f(t )的连续小波变换(ContinueW aveletTr ansform，简称为CWT)，其表达式为: WTf?a,?? =f(t),?a,?(t)=
12?t??? ?(t)??dt （3.3）?aR?a?由以上定义，我们可以看出小波变换也是一种积分变换，WTf(a,?),灼为小波变换系数。可以证明，若采用的小波满足容许条件，则连续小波变换存在着逆变换，逆变换公式为:
1f(t)=
C???da2?a0???????WTf(a,?)???a,?(t)d?
1= C?da2?0a???WTf(a,?)?(t??)d?a (3.4)
式(3.4) C?=?R?(t)???d??? 为对?(t)提出的容许条件。
在此需要进一步说明，在小波变换过程中，所采用的小波必须满足容许条件反变换才存在，由容许条件C?=?R?(t)???d???可以推断出:能用作基本小波?(t)
的函数至少必须满足?(??0)?0或者??(t)dt?0,也就是说，?(?)必须具有带
R通性质，且?(t)必须是有正负交替的MIA波形，使得其平均值=0，这便是称之为“小波”的原因。另外，在实际中，对基本小波的要求往往不局限于满足容许条 件，对?(t)还要施加所谓的“正则性条件”，使?(?)在频域上表现出较好的局限性能。为了在频域上有较好的局限性，要求WTf(a,?)随a的减小，所以这就要求?(t)的前n阶原点矩为0，且n值越高越好，即
?t?（t）d(t)=0 p =1~ n ，且 n值越大越好 (3.5)
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?(?)在?=0处有高阶零点，此要求在频域内表示就是，且阶次越高越好(一阶零点就是容许条件)，即
?(?)=?n?1?0(?) ?0(??0)?0, n 越大越好 (3.6)
上两式就是正则性条件。如果 用 上 述变换公式来处理图像信息，还需要将连续小波离散化，同时将一维变换拓展到二维。
3.2离散小波变换
在实际应用中，为了方便计算机进行分析、处理，信号?(t )都要离散化为离散数列，a和?也必须离散化，成为离散小波变换(Discrete Wavelet Transform),记为DWT.
由上一节连续小波变换的概念我们知道，在连续变换的尺度a和?时间值下，小波基函数?a,?(t) 具有很大的相关性，所以一维信号f(t)做小波变换成二维的WTf(a,?)后，它的信息是有冗余的，体现在不同点的WTf(a,?)满足重建核方程。在理想情况下，离散后的小波基函数?m,n(t)满足正交完备性条件，此时小波变换后的系数没有任何冗余，这样就大大地压缩了数据，并且减少了计算量。
为了减少小波变换的系数冗余度，我们将小波基函数??,??t?=a,? 限定在一些离散的点上取值。
① 尺 度 的离散化。目前通行的办法是对尺度进行幂级数离散化，即令a取
1?t??????
aa????j?a=a,a0>O,m?Z，此时对应的小波函数是a0??(t?2)?j=0 ,1,2,...。
?0?m0_j2② 位移的离散化。通常对?进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。为了防 止信息的丢失，我们要求采样间隔?满足Nyquist采样定理，采样率大于等于该尺度下频率通常的二倍。所以每当m增加1时，尺度a增加一倍，对应的频率减小一半，可见采样率可以降低一半而不致引起信息的丢失(带通信号的采样率决
??f?定于其带宽，而不是决定于其频率上限)。所以在尺度j下，由于???0t??的带
??宽时??t?的a0j倍，因此采样间隔可以扩大a0j，同时也不会引起信息的丢失。这
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j2j2?j样，?a,?(t) 就改成:a0?a(t?ka?)?a0?a0t?k?0 (3.7)
???j0j00????记为?aj,k?(t)离散小波变换定义为:
00?aj,k?(t)d(t) j=0,1,2...,k?ZWTf(a0j,k?0)=?f(t)00 (3.8)
在以上的尺度以及位移均离散化的小波序列，如果取离散栅格a0= 2 ,?0 =0， 即相当于连续小波只在尺度a上进行量化，平移参数?仍然连续不被离散，我们称这类小波为二进小波，表示为: ?2K,?(t)=2?(?k2t??) (3.9) k2二进小波介于连续小波和离散小波之间，由于它只是对尺度参量进行离散化，在时间域上的平移量仍保持着连续的变化，所以二进小波具有连续小波变换的时移共变性，这个特点也是离散小波不具有的。也正因为如此，它在奇异性检测、图像处理方面都十分有用。
令小波函数为?(t)，其傅立叶变换为?(?)，若存在常数A,B，当0
2k?zA???(2kw)?B (3.10)
此时，?(t)才是一个二进小波，我们称上式为二进小波的鲁棒性条件。
定义函数f(t)?L2(R)的二进小波变换系数为: WT2K(?)=f(t)?2k,?(t)=2其中?2k,?(t)=2
?k2k2?f(t)?(??t2k)dt (3.11)
?(t??) (3.12) k2由前面的知识可得它的小波逆变换公式是存在的。
二进小波变换的重建公式为:
?f(t)=??WT2K(?)?2K,?(t)d? (3.13)
k?zR?其中，?2k,?(t) 为?2k,?(t)的对偶框架，其上、下界分别为B?1，和A?1
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第4章 基于小波变换的数字水印算法
4.1算法描述
Amold变换是Amold在遍历理论研究中提出的一种变换，俗称猫脸变换原意为cat mapping。设想在平面单位正方形内绘制一个猫脸图像，通过如下变换
?x'??11??'?=???y???12???x??y?mod1 (4.1) ??这个猫脸图像将由清晰变为模糊，这就是Arnold变换。注意到式(4.1)定义的Amold变换实际上是一种点的位置移动，并且这种变换是一一对应的。此外，这个变换可以迭代地做下去。类似的变换还有面包师变换。
对于数字图像来说，可以将其看成是一个函数在离散网格点处的采样值，这样我们就得到了一个表示图像的矩阵，矩阵中元素的值是对应点处的灰度值或RGB颜色分量值。对于正方形数字图像，我们有离散化的Amold变换:
?x'??11??'?=????y???12??x??y?modN,x,y??0,1...N?1? (4.2) ??其中N为图像的高度和宽度。
对于数字化图像而言，我们所说的位置移动实际上是对应点的灰度值或者RGB颜色值的移动，即将原来点(x,y)处象素对应的灰度值或RGB颜色值移动至变换后的点(x' ,y')处。如果我们对一个数字图像迭代地使用离散化的Amold变换，即将左端输出的(x' ,y')T作为下一次Amold变换的输入可以重复这个过程一直作下去当迭代到某一步时，如果出现的图像符合我们对图像的“杂乱无章”标准的要求，这即是一幅置乱了的图像。
目前的小波域水印算法,对于水印嵌入位置的选择有不同的意见。一种意见认为低频子图是图像的平滑部分，人另一种意见则认为中高频子图的小波系数幅度一般较小。由人类视觉特性知，只要迭加的水印信号低于JND值，视觉系统就无法感觉到信号的存在。这样在图像有一定失真的情况下，仍能保留主要成分，可保持原始载体图像的主观视觉质量基本不变，于是提出水印嵌入低频系数中。
以前的很多算法不在低频系数中加入水印，原因是避免出现方块效应，但经 过实验证明，不在低频部分嵌入所有水印，只嵌入一部分水印，再在中频部分嵌
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入一部分水印，既能保证不可见性又有很好的鲁棒性。
综合考虑上述嵌入位置的探讨以及小波分解系数的特点，本文将水印的嵌入 位置选择为原始图像经过小波三级分解后的中频和低频分量上。为了权衡水印不可见性和鲁棒性，决定优先选择在原始图像小波分解后的第二级分量上嵌入水印。具体嵌入位置如下:
① 将水印图像一级小波分解后的水平分量嵌入到原始图像小波分解后的第二级水平分量上(中频分量):水印图像一级小波分解后的垂直分量嵌入到原始图像小波分解后的第二级垂直分量上；水印图像一级小波分解后的对角分量嵌入到原始图像小波分解后的第二级对角分量上。
② 而由于人眼对对角分量上噪声的敏感度低于水平、垂直分量上噪声的敏感度，所以将水印经一级小波分解后的低频分量嵌入到原始图像小波分解后的第三级对角分量上。
③ 考虑到低频分量集中了原始图像的大部分信息，有较好的稳定性，在图像有一定失真的情况下，仍能保留主要成份，最后又将水印图像经小波分解后的低频分量二次嵌入到原始图像的低频分量中。 具体的嵌入过程如下:
① 分别输入原始图像X和水印图像W；
② 利用Amold变换将水印图像W置乱，置乱后的水印记为W' 置乱次数k作为密钥； ③ 对置乱后的水印图像W’采用Haar小波变换进行一级小波分解，得到平w'(LH,i,j) 、垂直w'(HL,i,j) 、对角分量小波系数w'(HH,i,j) 和低频分量小波系数 w'(LL,i,j)；
④ 对原始图像为X采用Haar小波变换对其进行三级小波分解，得到低频分量小波系数 x( LL3 ,i,j)、水平分量小波系数x(LHn,i,j) 、垂直分量小波系数x(HLn,i,j)和对角分量小波系数x(HHn,i,j) , n =1,2,3；
⑤ 参照对嵌入位置的分析，用水印的小波系数按下式修改原始图像的波系数 ：X'(i,j ) = X(i ,j) + a?W'(i ,j) (4. 3) 其中X'(i,j )是嵌入水印图像的小波系数，X(i,j) 是原始图像的小波系数，W'(i ,j)是 在 原 始图像的(i ,j)位置上嵌入的水印小波系数值，“是嵌入强度,其取值应权衡不可见性和鲁棒性要求,a越大,水印虽越强壮，但是嵌入水印的
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