切的n?N,n?K，都有xn?x??）。当点列{xn}n?N收敛于 点x时，记作lim?x，
n??或记作xn?x(n??)，点x称为是点列{xn}n?N的极限。利用极限概念，闭集的特征可刻画为：
? 点集X是闭集当且仅当X中任何收敛序列的极限仍在X中。
如果R?的一族开子集{Ut}t?T的并集包含了点集X（即X??Ut）, 则称{Ut}t?T是
t?TX的开覆盖。当X的任何开覆盖都有有限子覆盖时，称X是紧集。紧集的典型例子是
闭区间[0,1]。拓扑学中证明了下面两个事实：
? X是紧集当且仅当X是闭集并且X中的任何序列都有收敛子序列。
? X是紧集当且仅当X的任何具有有限交性质的(相对)闭集族都具有非空的交。 这里，集族的有限交性质是指该集族中任何有限个集合的交集都是非空的。
点集X叫做是下有界的，是指存在点（向量）a?(a1,a2,?,a?)?R?使得对一切的x?X, 都有x?a；X叫做是上有界的，是指存在点（向量）b?(b1,b2,?,b?)?R?使得对一切的x?X, 都有x?b；X叫做是有界的，是指X既是上有界的，又是下有界的。容易看出：X是有界点集当且仅当存在正数r，使得对一切x?X，都有x?r。拓扑学中还证明了：
? 点集X是紧集当且仅当X是有界闭集。
点集X称为是凸集，是指对任何x,y?X及实数t?[0,1]，都有tx?(1?t)y?X. 这就是说，X的凸性是指X中任何两点之间的连线(直线段)都在X中。一般集合不一定是凸集，但是可从它得到一个很有意义的凸集——凸包。点集X的凸包是指R?中包含X的最小凸集，记作coX. 可以证明：
n?n?coX???tixi:(n?N)?(xi?X,ti?[0,1],i?1,2,?,n)?(?ti?1)?
i?1?i?1?当X既是凸集，又是紧集时，称X是凸紧集。凸紧集在经济分析中是相当有用的。
（三）映射、函数与泛函
设X和Y为任意两个集合（不必是点集）。从X到Y的一个映射是一种对应关系f，在这个关系下，对于X中的每一个元素x，都有Y中唯一的一个元素y与之对应，这个元素y就记作f(x)。映射f通常记作f:X?Y, 其中X叫做f的定义域，Y叫做f的值域，集合G(f)??(x,y)?X?Y:y?f(x)?叫做映射f的图像。对于X的任一子集M，集合f[M]?{f(x):x?X}叫做M在映射f下的值集。显然，若f是从X到Y的映射，则f也定义了从X到f[X]的映射。
映射f:X?Y叫做单射或1-1映射，是指对一切x,x??X，若x?x?，则f(x)?f(x?)。映射f:X?Y叫做满射，是指对每个y?Y，都存在相应的x?X，使得y?f(x)。当映射f:X?Y既是单射，又是满射时，称f为双射。显然，f:X?f[X]是由映射f:X?Y确定的满射。
值域为实数集合R的子集的映射，叫做函数。定义域为R?的子集的函数，叫做?元函数（多元函数）。 定义域为某个拓扑向量空间V（比如R?）的函数，叫做泛函。如果某个泛函f:V?R满足条件：
(?x,y?V)(??,??R)(f(?x??y)??f(x)??f(y))
则称f是拓扑向量空间V上的线性泛函。可以证明：
?
对于R?上的每一个线性泛函f, 都存在唯一的一个向量
??f?(f1,f2,?,f?)?R，使得对一切x?(x1,x2,?,x?)?R?都有
?f(x)?fx???i?1fixi。
?上的每一个线性泛函f都由一个唯一的向量f?(f1,f2,?,f?)?R?来决定。鉴于此，
??可把R上线性泛函f与决定这个泛函的向量f?(f1,f2,?,f?)?R?等同看待，并且在
??记法上不加区别。这样，f就与f等同起来（即f?f），f(x)也就可以写成fx，即
??这里，fx表示向量f与向量x的内积（即对应分量之积的和）。以上结论说明，R?f(x)?fx.
（四）超平面与凸集的分离性
空间R?中的超平面（Hyperplane）是由R?上的线性泛函决定的。也就是说，R?的一个子集H称为是一张超平面，是指存在R?上的一个线性泛函f以及存在一个实数r，使得H??x?R?:f(x)?r?。今后，为了书写上的方便，把超平面?x?R?:f(x)?r?就简单地记为H(f,r)，即H(f,r)??x?R?:f(x)?r?。当??2时，超平面就是直线；当??3时，超平面就是通常(3维空间中)的平面。
位于超平面两侧的凸集，称为相分离的凸集，也即它们被该超平面分离开来。位于一个凸集下方的超平面，称为该凸集的支撑超平面。为了严格起见，我们给出下面一些定义。
?R的子集A和B由超平面H(f,r)分离，是指：(?x?A)(?y?B)(f(x)?r?f(y))或者(?x?A)(?y?B)(f(x)?r?f(y))。子集A和B由超平面H(f,r)严格分离，是指：
(?x?A)(?y?B)(f(x)?r?f(y))或者(?x?A)(?y?B)(f(x)?r?f(y))。超平
面H(f,r)叫做是子集A的支撑超平面，是指f?0并且(?x?A)(f(x)?r)。当
H(f,r)是子集A的支撑超平面时，交集A?H(f,r)(若非空的话)中的点称为A的支
撑点。
更一般地说，点x称为是子集A的支撑点，是指存在A的一个支撑超平面H(f,r)使得x?A?H(f,r)。子集A和B称为是相分离的，是指A和B由某个超平面H(f,r)所分离。经济学中用到的有关分离性的事实是下面的凸集分离性定理。
凸集的分离性定理. 设A和B都是R?的非空凸子集。
? ? ? ?
如果A??Φ并且A??B?Φ，则A和B可由某个超平面分离。 如果A和B是不相交的开集，则A和B可由某个超平面严格分离。
如果A闭集，B是开集，并且A?B?Φ，则A和B可由某个超平面分离。 如果A??Φ，则A的边界?A?A?A?上的每个点都是A的支撑点。
（五）连续映射与连续函数
设X,Y?R，f:X?Y, x?X. 映射f在点x处连续，是指对点f(x)的任何邻域V?Y，都存在点x的邻域U?X，使得对一切z?U，都有f(z)?V. 可以证明，映射f在点x处连续的充分必要条件是：对X中的任何序列?xn?n?N, 若limxn?x,
n???则limf(xn)?f(x)。如果f在X中的每一点处都连续，则称f是连续映射。
n??泛函作为特殊的映射，一个重要的事实是：R上的任何线性泛函都是连续的。
对于作为连续映射之特殊情形的连续函数来说，紧集上的连续函数必有最大值和最小值。这是阿罗和德布罗在重建瓦尔拉一般均衡理论体系时所使用的一个最基本的事实。
?设X是拓扑空间，x,y?X，?:[0,1]?X是从闭区间[0,1]到X的映射。如果?连续并且满足条件：?(0)?x、?(1)?y, 则称?是X中连接点x和点y的道路。如果X中任何两点之间都有连接的道路，则称X是道路连通的。一般拓扑空间中，道路连通的集合必然是连通的；反之不然。但是在欧氏空间R?中，集合的连通性与道路连通性等价。
第四节 价格体系
价格是微观经济学研究的重点。要研究价格机制，需要首先研究价格的表示问题。本节在商品空间的框架下讨论价格体系的一般表示问题。
一、价格的概念
商品价格是在商品交换过程中形成的。在生产力水平极端低下的原始社会，原始族落共同劳动获得的产品仅够维持自己族落成员的生存，拿不出剩余产品去交换以获得其他族落的劳动产品。到了原始社会后期，生产力水平有了很大提高，族落的劳动产品有了剩余，出现了劳动产品的交换享用。社会分工的出现，使得交换变得更加频繁。商品在交换过程中便形成了物与物之间的一定交换比例，即商品的价格。
随着经济的不断发展，商品交换越来越成为必不可少的重要经济活动。为了便利交换活动，出现了充当商品的一般等价物的货币。货币的出现，使得商品价格从物与物的交换比例形式变为单位商品所能换取的货币量。这就是市场经济中商品价格的表现形式，其实质仍是物与物的交换比。如今, 价格概念包含的内容很多，如正常价格、工资、津贴、薪金、租金、票价、运费等等。我们的目的不是要去研究某种特定的价格，而是要对价格作出一般的表示。
二、价格的表示
（一）价格向量
我们首先考虑有限维经济中商品价格的表示问题。设商品空间为R?，用pi表示一个单位商品i所能交换的货币量，则pi就是商品i的价格(i?1,2,?,?)。由各种商品的价格所构成的向量p?(p1,p2,?,p?)，叫做商品的价格体系或价格向量。注意，价格向量也是空间R?中的向量。
商品向量x?(x1,x2,?,x?)在价格体系p的价值是向量p与向量x的内积px：
?px??i?1pixi
由此可见，价格体系p实际上确定了商品空间R?上的一个线性连续泛函p,这个泛函确定了每个商品向量的价值。鉴于这个原因，今后，价格体系也可叫做价格泛函。
商品价格可以为正、为负或为零。当一种商品的价格为零时，称这种商品为自由商品。价格为负的商品一般是垃圾或者有害物，例如，发达国家常常把他们的原子核垃圾以负价格出售给落后国家。可见，空间R?中的任何一个向量都可以作为价格向量。正式由于这样，我们把空间R 叫做价格空间。我们看到，在有限多种商品的情况下，商品空间与价格空间一致，这是有限维经济的一个重要特征。
?（二）价格泛函
在无限维经济中，商品空间成为一般商品空间，即拓扑向量格。在这种框架下，我们无法具体地区别不同种类的商品，因而也就无法谈论某种商品的价格问题。由于把商品作为整体看待，即消费者选择了一篮子商品，生产者提供了一篮子商品，因此价格体系也必须作为整体看待，即要确定这一篮子商品的价值，也即要确定商品向量的价值。这样，商品的价值只能通过一般商品空间上的某个线性连续泛函来表示。这就是说，无限维经济中的价格体系是一般商品空间上的线性连续泛函。
具体地讲，在以拓扑向量格V为商品空间的经济中，商品的价格体系是V上的一个线性连续泛函p，即这种计价系统具有以下三条性质：
? ? ?
对任何的x,y?V,p(x?y)?p(x)?p(y)。
对任何的x?V及t?R, p(tx)?tp(x)。 p:V?R是连续的。
p(x)就是商品向量x在价格体系p下的价值。今后，为了简便起见，我们把p(x)也记作px, 即px?p(x)，并称p为价格泛函。V的对偶空间V?（即V上一切线性连续
泛函的全体）称为价格空间。
与有限维情形不同的是，无限维经济中价格空间一般不同于商品空间，价格泛函一般不能通过商品空间中的某个向量来表示。