2011年闽清育才学校5月高考模拟训练
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。 1. i是虚数单位。已知复数Z?1?3i?(1?i)4，则复数Z对应点落在（ ） 3?iA．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2. 已知集合P??x|2?A. ?
??x1?22?，Q??y|x?y?4,x?R,y?R?，则P?Q?（ ） 4? C. ??2,1? D.
B. Q
???2,0?,?1,3??
?23. 设函数f(x)?sin(?x?)?1(??0)的导数f?(x)的最大值为3,则f(x)的图象的一6条对称轴的方程是（ ）
?A．x??9 B．x??6 C．x??3 D．x?
4. 已知正三棱锥S—ABC的高为3，底面边长为4，在正棱锥内任取一点P，使得
1VS?ABC的概率是（ ） 23711 A． B． C． D．
4848
5. 设函数f(x)?x??x?，其中?x?为取整记号，如??1.2???2，?1.2??1，?1??1．又
x函数g(x)??，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)图像交点
3VP?ABC?的个数记为n，则Ａ．??nmg(x)dx的值是（
）
5457 Ｂ．? Ｃ．? Ｄ．? 23466. 图1中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数
S?S(a)(a≥0)是图1中阴影部分介于平行线y?0及y?a之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为（ ）
y S(a)S(a)S(a)S(a) 3
2
1 12O1Oa3O123a2O12a31 O23aAB图1 CDy=a3x7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．7 B．8.下列说法：
①命题“存在x0?R，使20?0”的否定是“对任意的
x201417 C． D． 333x?R,2x?0”；
②若回归直线方程为?， x∈{1,5,7,13,19}，则y=1.5x+45y=58.5；
③设函数f(x)?x?ln(x?1?x)，则对于任意实数a和
2b， a?b＜0是
f(a)?f(b))＜0的充要条件；
④“若x?R，则|x|?1??1?x?1”类比推出“若z?C，则|z|?1??1?z?1”
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
x2y29. 已知点P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、
ab右焦点，I为△PF1F2的内心，若S?IPF1?S?IPF2??S?IF1F2成立，则?的值为（ ）
a2?b2aba A. B. C. D.
2aaba2?b2x*10. 若f(x)?，f1(x)?f(x)，fn(x)?fn?1?f?x???n?2,n?N?,
x?1则f?1??f?2????f?2011??f1?1??f2?1????f2011?1? =（ ）
A．1 B．2009 C．2010 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．
D．2011
?20(2?1?x)dx?
?????????????12．若点P是?ABC的外心，且PA?PB??PC?0,?C?120?，则实数?= _____
n(2x??)?3cos(2x??)为奇函数，且在[0,13．使f(x)?si值是 ________
?4]上是减函数的?的一个
14. 函数y?f(x)(x?R)，满足：对任意的x?R，都有f(x)?0且f2(x?1)?7?f2(x)。
??x?2,当x?(0,1)时，f(x)????5,0?x?5?25?2?x?1，则
f(2010?3)? ．
15 设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个．．．数称为ai的顺序数（i?1，，．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，2?，n）3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时
满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为_________ ___（结果用数字表示）．
三、解答题
16.（本题满分13分）
已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，
??（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a·→b，且x∈[－,]时，求
44函数f(x)的最大值及最小值
17．(本小题满分13分)
如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，经平面AEFG 所截后得到的图形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60
(I)求证：BD⊥平面ADG；(Ⅱ)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．
18.（本题满分13分）
某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损
7215%，且这两种情况发生的概率分别为和；
99项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，
311也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和
5315（Ⅰ）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （Ⅱ）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继
续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？
（参考数据：lg2?0.3010，lg3?0.4771）
19.（本题满分13分）
x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴端点分别为A、B，且
ab四边形F1AF2B是边长为2的正方形
（I）求椭圆的方程；
????????? （II）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD?CD?0，连结CM交椭
?????????圆于P，证明OM?OP为定值（O为坐标原点）；
（III）在（II）的条件下，试问在x轴上是否存在异于点C的定点Q，使以线段MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由
20.（本题满分14分） 已知函数f(x)?lnx?2x?. x?44（Ⅰ）求f(x)的极值；
（II）判断y=f(x)的图像是否是中心对称图形，若是求出对称中心并证明，否则说明理由； （III）设f(x)的定义域为D,是否存在?a,b??D.当x??a,b?时，f(x)的取值范围是
?ab?,?？若存在,求实数a、b的值；若不存在，说明理由 ??44?
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果
多做，则按所做的前两题记分．
（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M???有特征值???1及对应的一个特征向量e1???． 3d????3?（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x2?2y2?1，求曲线C的方程． （2）(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程
2??x?1?t,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为? （t为参数），若圆P在以该2y?2t?1???a1??1?直角坐标系的原点O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为?2?4?cos??3?0．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和圆P的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A是曲线C上的动点，点B是圆P上的动点，求AB的最小值． （3）(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)?x?1?x?2，不等式t?f(x)在R上恒成立． （Ⅰ）求t的取值范围；