（Ⅱ）记t的最大值为T，若正实数a,b,c满足a2?b2?c2?T，求a?2b?c的最大值．
2011年闽清育才学校5月高考模拟训练数学（理科）答案
一：选择题1-5：CBABA, 6-10：CDCBD. 二:填空题
11. 3 ; 12.?1 ; 13.
2? 14. 35 ; 15. 144; 16.解：（Ⅰ）假设→a∥→b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，
∴2cosx＋sinxcosx＋sinx＝0，2·cos2x＝－3，
??
∴2(sin2x＋)＝－3，与|2(sin2x＋)|≤2矛盾，故向量→a与向量→b不可能平行．
44
22
（Ⅱ）∵f(x)＝→a·→b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cosx－sinx＋
2
2
1＋cos2x11－cos2x
＋sin2x＋＝0，即sin2x＋222
2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝2(22?cos2x＋sin2x)＝2(sin2x＋)， 224
????3????
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2；
44444428???
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1．
44417.（Ⅰ）证明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得，BD=3，?AB?AD?BD.∴AD⊥BD --（2分）
又GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD，GD?AD=D，∴BD⊥平面ADG???4分
（Ⅱ）解：以D为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OG为z轴建立空间直角坐标系D—xyz
则有A（1，0，0），B（0，3，0），G（0，0，1），E（0，3,2）
222AG?(?1,0,1),AE?(?1,3,2) --------------------（6分） 设平面AEFG法向量为m?(x,y,z)
?3?m?AG??x?z?0.1) -------------（9A 则?分） ,取m?(1,?3??m?AE??x?3y?2z?0平面ABCD的一个法向量n?DG?(0,0,1) -------------------------（10分） 设面ABFG与面ABCD所成锐二面角为?，
???|m?n|21?则cos??|cos?m,n?|? ----（13分）
|m|?|n|718.解：（1）若按“项目一”投资，设获利?1万元，则?1的分布列为：
72?E?1?300??(?150)??200（万元）???2分
99若按“项目二”投资，设获利?2万元，则?2的分布列为：
311?E?2?500??(?300)??0??200（万元）. ?4分
531572D?1?(300?200)2??(?150?200)2??35000， ??????5分
99311D?2?(500?200)2??(?300?200)2??(0?200)2??140000，??6分
5315所以E?1?E?2，D?1?D?2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．???8分
200n)?2000，即1.2n?2， 1000lg20.3010??3.8053． 两边取对数得：n?2lg2?lg3?12?0.3010?0.4771?1（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意：1000(1?所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番． ?13分
x2y2??1??3分 20．（1）如图，由题知2b?2c?22?b?c?2，a?2?42（2）C(-2,0),D(2,0),则可 设lCM?y?k(x?2)
P:(x1,y1)?MD?CD?M:(2,4k)
?????????2?4k24k4(1?2k2)?OM?OP?2??4k???4 ????9分 2221?2k1?2k1?2k （3）设Q:(x0,0)且x0??2，
?????????由题知MQ?DP?QM?DP?0成立
?存在Q:(0,0)使得以MP为直径的圆恒过DP、MQ的交点 ??????13分
20.解：(I) f/(x)?x(x?6)x?2 .注意到?0，即x?(??,2)?(4,??)，
4(x?2)(x?4)x?4x(x?6)?0得x?6或x?0．所以当x变化时，f/(x),f(x)的变化情况如下
4(x?2)(x?4)表：
13是f(x)的一个极大值,f(6)?ln2? 是f(x)的一个极大值.. 223(II) 点?0,f(0)?,(6,f(6))的中点是(3,),所以f(x)的图象的对称中心只可能是
43(3,). 4所以f(0)?ln
证法1：方程（曲线）观点要证f(x)的图像关于(3,)对称，只需证明点Q也在y=f(x)上，
4 3y?f(x)3设P(x,y)为f(x)的图象上一点,P关于(3,)的对称点是Q(x0,y0)，
4?x?x0?3?x?6?x0?x?2x?2???因?，又y?ln()? 3x?44y??y0?y?y0?3??2??24所
以
3?y02，
l6?x0?x0?n6即点Q(x0,y0)也在函数y=f(x)的图像上。
证2 ：函数的观点证明中心对称：要证y=f(x)图像关于点(3,)对称，只需证
3433设为的图象上一点,关于P(x,f(x))f(x)(3,的)对称点是Pf(6?x)??f(x)423??Q(6?x,?f(x))2
(III) 假设存在实数a、b.??a,b??D,?b?2或a?4.
若0?b?2, 当x??a,b?时, f(x)?f(0)?ln不可能?
若4?a?6,当x??a,b?时, f(x)?f(6)?ln2?故不可能?.
若a?b?0或6?a?b,由g(x)的单调递增区间是???,0?,?6,???,知a,b是
1bb?0,而?0?f(x)?.故24433aa3?,而??f(x)?.22442f(x)?xxx?2的两个解.而f(x)??ln?0无解. 故此时f(x)的取值范围是44x?4?ab???不可能是?,?. 44综上所述,假设错误,满足条件的实数a、b不存在.
21.（1）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．
?a1??1??a?3??1,?1???1? ?????1???=??，∴??3d???3??3?3d?3.??3??3??21??a?2,解得?∴M???. …………………4分 30d?0.???解：（Ⅰ）?（Ⅱ）设点A(x,y)为曲线C上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A?(x?,y?)， 则??21??x??x???x??2x?y,?，所以 ????????30yyy?3x,???????2代入x2?2y2?1得?2x?y??2?(3x)2?1，
所以所求的曲线方程为22x2?4xy?y2?1. .…………………………7分
（2）本题主要考查直线和圆的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归
与转化思想.满分7分．
解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为2x?y?1?0(x?1)， 圆P的直角坐标方程为(x?2)2?y2?1. 最小值可转化为求PA的最小值.
过圆心P作射线2x?y?1?0(x?1)的垂线，垂足E在线的反向延长线上，
当点A在射线的端点时，PA?2，
AEP …………………4分（Ⅱ）求AB的
y 该射
x 此时EA的长最小，故此时PA取最小值.
所以所求的最短距离为2?1. …………………7分
（3）本题主要考查利用绝对值不等式的基本性质求解和证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分．
解：（Ⅰ）?f(x)?x?1?x?2?(x?1)?(x?2)?3，
?f(x)min?3. …………………2分
?不等式t?f(x)在R上恒成立，
?t?f(x)min?3， t的取值范围为(??,3]. …………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得T?tmax?3，
由柯西不等式得：(a?2b?c)2?(12?22?12)(a2?b2?c2)?18，
?a?2b?c?32. …………………5分
22abc时， ,b?2,c???即a?22121a?2b?c的最大值为32. …………………7分
当且仅当