1、直线方程的几种形式 名称 点方向式方程 方程 说明 适用范围 x?x0y?y0? uv(x0,y0)──直线上已知点， u?0，v?0 d?(u,v)──直线方向向量 (x1,y1)、(x2,y2)──直线上不含直线x?x1（x1?x2）已知点 和y?y1（y1?y2） 平面直角坐标系内的直线都适用 斜率存在，即不含直线两点式 y?y1x?x1 ?y2?y1x2?x1点法向式方程 (x0,y0)──直线上已知点， a(x?x0)?b(y?y0)?0 n?(a,b)──直线的法向量 点斜式 y?y0?k(x?x0) Ax?By?C?0(A2?B2?0) (x0,y0)──直线上已知点， k──斜率 x?x0 平面直角坐标系内的直线都适用 一般式 2、直线的倾斜角和斜率 倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角。直线的倾斜角?的取值范围是[0,?)，特别地，l与x轴垂直时，??斜率：当??当???2。 时，记?的正切值为k，把k?tan?叫做直线l的斜率； ?2?2时，直线l的斜率k不存在。 根据定义，斜率k的取值范围是（－∞，+∞）. 问题：直线l的倾斜角?、斜率k、方向向量d之间有什么关系？已知其中一个可以求其它两个吗？ 3、直线与直线的位置关系 一般地，设两条直线的方程分别为 l1：a1x?b1y?c1?0（a1,b1不全为零）??①l2：a2x?b2y?c2?0（a2,b2不全为零）??② l1与l2的一个方向向量分别是d1?(b1,?a1),d2?(b2,?a2)；一个法向量分别是n1?(a1,b1),n2?(a2,b2)， 则l1与l2有如下关系： ① l1和l2相交?d1不平行d2?d1不垂直n2?a2b1?a1b2?0； ② 特别地，直线l1⊥l2?d1⊥d2?a1a2?b1b2?0； 1
③ l1//l2?d1平行d2?d1垂直n2 ?a2b1?a1b2?0； ④ l1和l2重合?d1平行d2?d1垂直n2 ?a2b1?a1b2?0。 若两直线的斜率都存在，直线方程可以化为l1：y?k1x?d1，l2：y?k2x?d2，则有： ① l1//l2?k1?k2且d1?d2； ② l1和l2重合?k1?k2且d1?d2； ③ l1和l2相交?k1?k2； 特别地，直线l1⊥l2的充要条件是k1?k2??1。 4、点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A、B不全为零）的距离 d=|Ax0?By0?C|A?B22. 两条平行直线l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0（A、B不全为零）间的距离d= |C2?C1|A?B22. ☆易错题分析： 1、 求过点A(?4,2)，且与x轴的交点到点P(1,0)的距离为5的直线方程。 2、 若直线l过点M(a,3)与点N(1,2)，求直线l的方程。 3、求与点P(4,3)的距离为5且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. ☆典型例题 2
一、平行与垂直 例1、已知直线l1： y?x，l2： y??3，已知P到l1，l2的距离分别为22x，在两直线上方有一点P（如图）3 与23，再过P分别作l1、l2的垂线，垂足为A、B， 求：（1）P点的坐标； （2）|AB|的值． 练习： 1、求垂直于直线x?3y?5?0，且与点???1,0?的距离是 2、已知5x?12y?60，求310的直线的方程． 5x2?y2的最小值. 2、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。 解：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求m，∵直线l交x轴于A(?m,0)，3m交y轴于B(0,?)由??412m??m?24，得m??24，代入①得所求直线的方程为：3x?4y?24?0 34 二、两直线的夹角 例2、等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x－2y－2=0，底边所在直线l2的方程是x+y－1=0，点P（－2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l3的方程. 解：可知直线l3的斜率存在. 设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3， l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2， 3
yPL3OL1L2x 练习： 1、填空 ① 直线x?ycos??8?0(??R)的倾斜角的取值范围是_______________ ② 设点A(1,a)(|a|?1)，O是坐标原点，则直线OA的斜率k的取值范围是__________,倾斜角?的范围是___________ ③ 设一次函数y?xctg??3,(???角?的范围是____________ 2、求直线y?cos?x?1的倾斜角的范围. 3、直线l1: y=mx, l2: y=nx，设l1的倾斜角是l2的倾斜角的2倍，且l1的斜率是l2的斜率的4倍， ??2??,?)的图象为直线l，则直线l的斜率k的取值范围是__________,倾斜63?? 若l1不平行于x轴，求mn的值. 2 4、已知两点P（2，－3），Q（3，2），直线ax+y+2=0与线段PQ相交，求a的取值范围. 4
5、在直线y=ax+1中，当x∈[－2, 3]时y∈[－3, 5]，求a的取值范围. 三、点到直线的距离 例3、求经过点P(2，3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为5的直线方程. 练习： xy??1P(m?n,?m)mn1、求点到直线的距离. 2、已知正方形的中心为G（－1，0），一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程. y四、对称问题 A例4、直线CD：y?2x是?ABC中?ACB的平分线所在直线,若A、B坐CDOBxA'标分别为A(?4,2)，B(3,1),求点C的坐标C(2,4)。 5