等价于
令则
，
或
，
， ，
①若，
当时，，，所以；
当所以又从而所以
时，， ，所以
，单调递增为
时，，
成立． 9分
， ，
，
在单调递减区间为，所以在
或
，当且仅当上单调递增，又
即
②若，因为，
，
所以存在所以当又从而此时
时，，所以当在
，使得
，时，
，因为在
， ，所以当
在上递增，
单调递增，
上递减，又时，，
不恒成立； 11分
③若，同理可得不恒成立．
综上所述，存在实数． 12分本小题满分12分
5、【解析】（Ⅰ）∵f?(x)?asinx?axcosx?sinx?(a?1)sinx?axcosx ??????1分
?2?22? f?()?(a?1)???a??
42428
∴a?1，f?(x)?xcosx?????????????????????3分 当f?(x)?0时，???x?? 当f?(x)?0时，??2或0?x??2
?2?x?0或
?2?x??
∴f(x)在(??,?),(0,)上单调递增；在(?,0),(,?)上单调递减???6分
2222（Ⅱ）当x?[0,]时，f(x)单调递增，
2
∴f(x)min?f(0)?1，
则只需g(x)?1在x?[0,??)上恒成立即可??????????????7分 m?2)mg?(x)?(x?0,m?0)
(mx?1)(x?1)2m(x2??????①当m?2时，
m?2?0 m∴g?(x)?0在[0,??)上恒成立， 即g(x)在[0,??)上单调递增 又g(0)?1，∴g(x)?1
∴g(x)?1在[0,??)上恒成立，故m?2时成立；?????????9分 ②当0?m?2，x?(0,2?m)时，g?(x)?0，此时g(x)单调递减 m ∴g(x)?g(0)?1，故0?m?2时不成立????????????11分 综上所述，m的取值范围是[2,??)????????????????12分
6、
7、（Ⅰ）f?x?的定义域为?0,??? ，
2ax??1?a?x?a?x?1??x?a??求导数，得f??x??x?1?a?? ， xxx若a?0 ，则f??x??0，此时f?x?在?0,???上单调递增，
若a?0 ，则由f??x??0得x?a，当0?x?a时，f??x??0 ，当x?a时，f??x??0 ， 此时f?x?在?0,a?上单调递减，在?a,???上单调递增. （Ⅱ）令g?x??f?a?x??f?a?x?，则
g?x??1122? a?x?1?aa?x?alna?x?a?x???1?a??a?x??aln?a?x?????????????2?2??2x?aln?a?x??aln?a?x? .
aa?2x2??2求导数，得g??x??2? ， 2a?xa?xa?x当时0?x?a，g??x??0，?g?x?在?0,a?上是减函数. 而g?0??0，?g?x??g?0??0 ， 故当0?x?a时，f?a?x??f?a?x?
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当a?0时，函数y?f?x?至多有一个零点， 故a?0，从而f?x?的最小值为f?a?，且f?a??0， 不妨设0?x1?x2，则0?x1?a?x2，?0?a?x1?a ， 由（Ⅱ）得f?2a?x1??f?a?a?x1??f?x1??0 ， 从而x2?2a?x1，于是由（Ⅰ）知，f??x1?x2?a， 2?x1?x2???0 . 2??8、(Ⅰ)解：当a = 1时，f?(x)≥0，函数f (x)单调递增，无极值 1分
111当?1，即a > 1时，在区间(??，)，(1，??)上，f?(x)?0，函数f (x)单调递增，在区间(，1)上，aaaf?(x)?0，函数f (x)单调递减
111∴当x?时，函数f (x)有极大值，故?，3分 a?4
aa4111当?1，即0 < a <1时，在区间(??，1)，(，??)上，f?(x)?0，函数f (x)单调递增，在区间(1，)aaa上，f?(x)?0，函数f (x)单调递减
∴当x = 1时，函数f (x)有极大值，不满足条件 故求实数a的值为4． 5分
4x2?5x?1(Ⅱ)解：f(x)?2x?5x?lnx，f?(x)?
x24x0?5x0?12(x?x0)?2x0?5x0?lnx0 在点P (x0，f(x0))处的切线方程为g(x)?x0函数y?f(x)是否存在“类对称点”等价于：
当0 < x < x0时，f(x)?g(x)?0恒成立，当 x > x0时，f(x)?g(x)?0恒成立
223?1)x?x0lnx?2x0?x0?x0lnx0 令F(x)?f(x)?g(x)?2x0x2?(4x06分 7分
8分
333则F(x0)?2x0?4x0?x0?x0lnx0?2x0?x0?x0lnx0?0
24x0x2?(4x0?1)x?x0(4x0x?1)(x?x0)F?(x)??
xx当0 < x < x0时，要F(x)?f(x)?g(x)?0恒成立，只需F (x)在(0，x0)是增函数
9分
只要4x0x?1?0，即x?111，0?x0≤ 在(0，x0)恒成立，∴x0≤4x04x0210分
当 x > x0时，要F(x)?f(x)?g(x)?0恒成立，只需F (x)在(x0，+∞)是增函数 111，x0≥ 只要4x0x?1?0，即x?在(x0，+∞)恒成立，∴x0≥4x04x02∴函数y?f(x)存在“类对称点”，“类对称点”的横坐标为9、解：（Ⅰ）g(x)?11分 12分
1． 222aax?2?alnx(x?0)，g?(x)??2??? 2xxxx①当a?0时，g?(x)?0，∴函数g(x)在区间(0,??)上单调递减； ②当a?0时，由g?(x)?0，解得x??2 a2,??)时，g?(x)?0，此时a当x?(0,?)时，g?(x)?0，此时函数g（x）单调递减；当x?(?函数g(x)单调递增． ??????３分 （Ⅱ）f(x)?x2?g(x)，其定义域为(0,??)．
2a2x3?ax?2f?(x)?2x?g?(x)?， ??????４分
x2令h(x)?2x?ax?2,x?(0,??)，h?(x)?6x?a， 当a?0时，h?(x)?0恒成立，∴h(x)在(0,??)上为增函数， 又h(0)??2?0,h(1)??a?0，
∴函数h(x)在(0,1)内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f?(x)的变号零点，此时f(x)在区间
32(0,1)内有极值． ??????５分
3当a?0时，h(x)?2(x?1)?ax?0，即x?(0,1)时，f?(x)?0恒成立，
∴函数f(x)在(0,1)单调递减，此时函数f(x)无极值 ???????6分 综上可得：f(x)在区间(0,1)内有极值时实数的取值范围是(??,0) ??７分 （Ⅲ）∵a?0时，函数f(x)的定义域为(0,??)
由（Ⅱ）可知：f(1)?3知x?(0,1)时，f(x)?0，∴x0?1．