?a?3?0,?即?a?4?2ln2?0,解得：2ln3?5?a?2ln2?4． ?a?5?2ln3?0.?综上所述，a的取值范围是?2ln3?5,2ln2?4?．………………………………14分 方法2：∵f(x)?2ln?x?1???x?1?，
∴f(x)?x?3x?a?0?x?a?1?2ln?x?1??0．…………………………6分
22即a?2ln?x?1??x?1， 令h?x??2ln?x?1??x?1， ∵h?(x)?2x?1?1?3?xx?1，且x?1，
由h?(x)?0得1?x?3,h?(x)?0得x?3．
∴h(x)在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．……………………9分 ∵h?2???3，h?3??2ln2?4，h?4??2ln3?5， 又h?2??h?4?，
故f(x)?x2?3x?a?0在区间?2,4?内恰有两个相异实根?h?4??a?h?3?． ……………………………………12分 即2ln3?5?a?2ln2?4．
综上所述，a的取值范围是?2ln3?5,2ln2?4?． ……………………………14分 21.解：（I）解：∵ a1=2, an+1=2Sn-1 (n∈N*).① 所以a2=2S1-1=3
当n?2时，an?2Sn?1-1 ②
①-②得 an?1?an?2an，即当n?2时，恒有
an?1an?3
∴数列{an}第二项以后的所有项成等比数列，an=3·3n-2=3n-1 (n ?2), 又 a1=S1=1，
a2a1?32?3
?2，n?1. ∴an=?n?1?3,n?2(II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan. 当n=1时，T1=a1=2 ;
当n?2时，Tn=2+2×31 + 3×32+…+n·3 n-1,
3Tn=2×3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n,
①-②得：-2Tn=2+(32+33+…+3n-1)- n·3n
=2+ =
3（1?3n2n?21?3?2）n?n·3
(2n?1)?3?5(2n?1)?3?54(2n?1)?3?54ca2nn
(n?2).又∵Tn=a1=2也满足上式， (n∈N*) a?ba22∴Tn?∴Tn?22. （1）2b?2.b?1,e?2??32?a?2.e?3 椭圆的方程为
y4?x?1
（2）设AB的方程为y?kx?3
?y?kx?3?23k?1?22?(k?4)x?23kx?1?0x1?x2?2,x1x2?2由?y2 2k?4k?4?x?1??4由已知
x1x2b20??y1y2a2?x1x2?14(kx1?3)(kx2?3)?(1?k24)x1x2?3k4(x1?x2)?34
?k2?44(?1k2?4)?3k4??23kk2?4?34,解得k??2
（3）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1
当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b
?y?kx?b?2kb?2222 ?(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x1?x2?2?y2k?4?x?1??4x1x2?b?4k22?4
x1x2?y1y24?0?x1x2?(kx1?b)(kx2?b)412?0代入整理得:
2b?k22?4S??12|b||x1?x2|?|b|(x1?x2)?4x1x2|?2|b|4kk22?4b?16?42
?4k22|b|?1
所以三角形的面积为定值.