数学Ⅱ部分
21．【选做题】
A．(选修4—1：几何证明选讲)
由圆D与边AC相切于点E，得?AED?90?，因为DF?AF，得?AFD?90?，
所
以
A,D,四F点E共圆,所以
?D ……………………………………5分 E?．F ?111又?ADF??ABD??BAD?(?ABC??BAC)?(180???C)?90???C，
2221所以?DEF??DAF?90???ADF??C，由?C?50?，得?DEF?25?．……………
210分 B．（选修4-2：矩阵与变换）
设曲线C：x2+y2=1上任意一点P(x,y)，在矩阵M所对应的变换作用下得到点
P1(x1,y1)，
则
?a0??x??x1??0b??y???y??????1?，即
?a???b?1xx． …………………………………………………………5分
yy1x12x2ax222?又点P所以则?y1?1，?by2?1为曲线C的1(x1,y1)在曲线C：?y?1上，444方程．
又曲线C的方程为x2+y2=1，故a2=4，b2=1， 因
为
a＞0，b＞0，所以
a+b=3． …………………………………………………………10分 C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
因为圆
C的极坐标方程为??2cos??2sin?，所以
?2?2?co??s2?si?，n
所以圆C的直角坐标方程为x?y?2x?1,…4分
??x??因为直线l的参数方程为??y???2t,2（t为参数）， 2t?42222?22??,半径为,?2y?0，圆心为??22??? 11
?2t2t?,?42所以直线l上的点P???2?向圆C 引切线长是 2???2t2??2t2?PC2?R2?????42????2???2??1?22????22?t?4?2?24≥26，
所以直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是
26． ……………………………………10分
D．（选修4-5：不等式选讲）
证法一：因为a，由均值不等式得a?b?c≥3(abc)，………………………b，c均为正数，2分
11?11因为，所以??≥3(abc)3abc2?11125分 (??)≥9abc3 ．…………………………………()abc22?1112222故a?b?c?(??)≥3(abc)3?9(abc)3．
abc22223又3(abc)?9(abc)23?23≥227?63，所以原不等式成
立．…………………………………10分
证法二：因为a，由基本不等式得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca． b，c均为正数，所以a2++≥??．……………………………………………………………………b2分
同理11分 ++≥??，…………………………………………………………………52ab2111333所以a2+b2+c2?(++)2≥ab?bc?ca???≥63．
abcabbcca所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分
3C4122. (1)设该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车为事件M，则P(M)?3?.
C1255所以该单位购买的
3
辆汽车均为B种排量汽车的概率为
1． ………………………………4分 55(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3.
333111C5?C4?C33C5C4C33?,P(X?3)??， 则P(X?1)?33C1211C1244P(X?2)?1?P(X?1)?P(X?3)?29． 44X
１ ２ ３ 12
所以X的分布列为 ……8分
数E(X)?1?P 3 4429 443 11………………………
学
期
望
329397．………………………………………………10分 ?2??3??44441144????????????23．(1)设P(x,y)，则AP?(x?1,y)，FP?(x?1,y)，AF?(2,0)，
????????????由AP?AF?2|FP|，得2(x?1)?2(x?1)2?y2，化简得y2?4x.
故动点P的轨迹C的方程
y2?4x. …………………………………………………………5分
(2)直线l方程为y?2(x?1)，设Q(x0,y0)，M(x1,y1) ，N(x2,y2)．
过点M的切线方程设为x?x1?m(y?y1)，代入y2?4x，得y2?4my?4my1?y12?0，
y由??16m2?16my1?4y12?0，得m?1，所以过点M的切线方程为
2y1y?2(x?x1)，……7分
同理过点N的切线方程为y2y?2(x?x2)．所以直线MN的方程为y0y?2(x0?x)，………9分
2又MN//l，所以?2，得y0?1，而y0?2(x0?1)，
y0故点Q的坐标为
1(?,1)． ……………………………………………………………………10分 2
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