推理与证明综合检测
一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分） 1. 集合P={1, 4, 9, 16…}，若a∈P, b∈P则a?b∈P，则运算?可能是 A．加法 [解析] D.
B．减法 C．除法 D．乘法
?????????????????????2. 若平面四边形ABCD满足AB?CD?0,(AB?AD)?AC?0,则该四边形一定是
A．直角梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 [解析] D.[AB//CD,BD?AC]
3. （2008·珠海市高三教学质量检测）给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若a,b?R,则a?b?0?a?b”类比推出“若a,b?C,则a?b?0?a?b”； ②“若a,b,c,d?R,则复数a?bi?c?di?a?c,b?d”类比推出“若a,b,c,d?Q,
则a?b2?c?d2?a?c,b?d”；
③“若a,b?R,则a?b?0?a?b” 类比推出“若a,b?C,则a?b?0?a?b”；
其中类比结论正确的个数是 （ ） (A).0 (B).1 [解析] B.[正确命题①]
(C).2 (D).3
4. (09深圳九校)平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n?3)维向量，n维向量可用(x1,x2,x3,?,xn)表示.设a?(a1,a2,a3,?,an),b?(b1,b2,b3,?,bn),
规定向量a与b夹角?的余弦为cos???abii?1ni?1ni(?ai2)(?bi2)i?1n.当
a?(1,1,1,?1),b?(?1,?1,1,?1)时，cos?=
A．
n?1 nB．
n?3 nC．
n?2 nD．
n?4 n[解析]
n?2n?2n?2? [cos??]
nnn?n5. 下列函数中，在区间?0，?上为增函数且以?为周期的函数是
?2?A．y?sin???x B． y?sinx C． y??tanx D． y??cos2x 2用心 爱心 专心
[解析] D
6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2、值域为{0,4}的“同族函数”共有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D.无数
[解析]3. [定义域可以是以下3种情况：{0，2}、{0，-2}、{0，2，-2}]
7.（08南昌调研）对于使?x?2x?M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做
2?x2?2x的上确界,若a,b?R?,且a?b?1，则?
A．
12?的上确界为 2abD．?4
9 2B．?9 2C．
1 4[解析] B
?12125b2a9???(a?b)(?)??(??)??，
2ab22ab22ab1299?M??，??的上确界为?
22ab28. (2008深圳二模)如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点。该青蛙从5这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是（ ） A.1 B．2 C．3 D．4 [解析] A
[每两次跳3个点，每跳10次回到5这个点，
故跳2010次后它停在5这个点，跳2008次后它将停在的点是1]
二.填空题: （本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只34能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分）
9. (2008中山一模)观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_______个小正方形，第n个图中有 个小正方形.
[解析] 28，
521(n?1)(n?2).设第n个图中有an个小正方形. a1?1?2，a2?1?2?3，
2(n?1)(n?2)
2a3?1?2?3?4，?an?1?2?3?4???(n?1)?10. 在数列?an?中，满足an?1?an?an?1(n?2),a1?a,a2?b,设sn?a1?a2???an,则
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合情推理推出a100=____________ ,.s100=_______________. [解析] a100??a ；
s100?2b?a
2f(x)（x?N*）,猜想f(x）的表达式为 ,f(1)?1
f(x)?211. (2008江苏模拟)已知f(x?1)? [解析] f(x)?2222 .[f(1)?1,f(2)?,f(3)?,?,f(x)?] x?134x?112. (2008韶关一模)在实数集上定义运算?：x?y?x(1?y)，若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是 1322 [解析] (?， ). [(x?a)?(x?a)?1?(x?a)(1?x?a)?1?x?x?a?a?1?0，
22??4a2?4a?3?0??13?a?] 2213. (济宁市2007—2008学年度高三复习第一阶段质量检测)
设等边?ABC的边长为a,P是?ABC内任意一点,且P到三边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3,则有d1?d2?d3为定值
3a;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设2正四面体ABCD的棱长为a,P是正四面体ABCD内任意一点,且P到平面ABC、平面
ABD、平面ACD、平面BCD的距离分别为h1、h2、h3，则有h1?h2?h3为定值 . [解析]
6a 314. （07韶关调研）设Sn是等比数列?an?的前n项和, 对于等比数列?an?,有命题p:若
S3,S9,S6成等差数列,则a2,a8,a5成等差数列成立；对于命题q：若Sm,Sn,Sl成等差数列, 则
________________成等差数列.请将命题q补充完整,使它也是真命题.(只要一个符合要求的答案即可)
[解析] am?k,an?k,al?k(k?N?)开放题，答案不唯一
hab111b，15. (2008深圳调研)在Rt?ABC中，两直角边分别为a、设h为斜边上的高，则2?2?2，
由此类比：三棱锥S?ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则 ． [解析]2?2?2?2
abc h三.解答题:
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1111
16. 若a?0,求证：a?211?2?a??2 2aa证明：要证a?211?2?a??2 a2a 需证a?211?2?a??2?????4分 2aa 需证 a2? 111122?4a??4?a??2?22(a?)?2 ?????6分 a2a2a2a 需证 a2? 需证a2?121?(a?) ?????8分 22aa1121?(a?2?2) ?????10分 22aa111 需证a2?2?2 此式显然成立，故a2?2?2?a??2成立??12分 aaa 17. 设函数f(x)?cosx?sinx,问是否存在??(0,使f(x??)?f(x?3?)恒成立？证明你的结论. [解析]f(x)??2),
2sin(x??4)，它的最小正周期为2?。?????4分
假设存在??(0,?2)，使f(x??)?f(x?3?)恒成立，
则T?2?是它的周期. ?????8分
???(0,)，∴T?2??(0,?)，这与它的最小正周期为2?相矛盾！???10分
2∴不存在??(0,??2),使f(x??)?f(x?3?)恒成立. ?????12分
18. 如图，点P为斜三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM?BB1交AA1于点M，
PN?BB1交CC1于点N.
(1) 求证：CC1?MN；
(2) 在任意?DEF中有余弦定理：
DE2?DF2?EF2?2DF?EFcos?DFE.
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拓展到空间，类比三角形的余弦定理， 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中
两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
(1) 证明：?CC1//BB1?CC1?PM,CC1?PN,?CC1?平面PMN?CC1?MN；???5分
222(2) 解：在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，有SABB?SBCC?SACC?2SBCCB?SACCAcos?，其中?1A11B11A11111为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角. ??????7分
?CC1?平面PMN,?上述的二面角为?MNP,在?PMN中，
PM2?PN2?MN2?2PN?MNcos?MNP? 222PM2CC1?PN2CC1?MN2CC1?2(PN?CC)?(MN?CC)cos?MNP， ????10分
11由于SBCC1B1?PN?CC,SACC1A1?MN?CC,SABB1A1?PM?BB1
11222∴有SABB?SBCC?SACC?2SBCCB?SACCAcos?. ??????14分 1A11B11A1111119. 比较n与2的大小
[解析] 当n=1时,n<2; 当n=2时,n=2; 当n=3时,n>2; 当n=4时,n=2; 当n=5时,n<2; 当n=6时,n<2n,?, 猜想：当n?5时,n<2…………………………………………………………6 下面下面用数学归纳法证明：
（1）当n=5时，由上面的探求可知猜想成立……………………………………..7分
k2（2）假设n=k（k?5）时猜想成立，即2?k………………………………..8分
k2则2?2?2k，?2k2?(k?1)2?k2?2k?1?(k?1)2?2，当k?5时(k?1)2?2?0
2n2n2n2n2n2n22n?2k2?(k?1)2，从而2k?1?(k?1)2
所以当n=k+1时，猜想也成立??????????????????????13分 综合（1）（2），对n?N猜想都成立???????????????????14分 20. （广东实验中学2008学年高三第一次阶段测试）对于定义域为D的函数y?f(x)，若同时满足：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a,b]?D，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]；那么把函数y?f(x)（x?D）叫做闭函数． (1) 求闭函数y?(2) 若y?x符合条件②的区间[a,b]；
13?2?x?k是闭函数，求实数k的取值范围．
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