推理与证明综合检测(2)

1?3?b?b1?1?3x在[a,b]上递增，则?a?a3，????????2分

?b?a???[解析]（1）由题意，y??a??1?a??1?a?0解得?或?或????????????????????4分

?b?0?b?1?b?1所以，所求的区间为[-1，0]或[-1，1]或[0，1] . ????????????5分 （2）若y?2?x?k是闭函数，则存在区间[a,b]，在区间[a,b]上，

x?k在定义域内单调递增，

函数y?f(x)的值域为[a,b] ????????????????6分

容易证明函数y?2??∴ ?a?2?a?k?????????????????????????7分 ???b?2?b?k

∴ a,b为方程x即方程x2?2?x?k的两个实数根. ????????????9分

?5x?4?k?0?x?2且x?k?有两个不相等的实根.

5??k?02?k???2????25?16?4k?0或????????????????12分

??25?16?4k?0??4?5?2?4?k?0?k?5k?4?k?0???解得2?k?99，综上所述，k?[2,)????????????????????14分 24x21、已知函数f(x)?aln(1?e)?(a?1)x,(其中a?0) ,

点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))从左到右依次是函数y?f(x)图象上三点,且

2x2?x1?x3.

(Ⅰ) 证明: 函数f(x)在R上是减函数； (Ⅱ) 求证：⊿ABC是钝角三角形;

(Ⅲ) 试问,⊿ABC能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC面积的最大值;若不能,请说明理由． 解：(Ⅰ) ?f(x)?aln(1?e)?(a?1)x,

xaex?(a?1)?ex?f?(x)??(a?1)??0恒成立,………………………… xx1?e1?e所以函数f(x)在(??,??)上是单调减函数. …………………………4分

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(Ⅱ) 证明:据题意A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))且x1f (x2)>f (x3), x2=

x1?x3…………………………6分 2?????????BA?(x1?x2,f(x1)?f(x2)),BC?(x3?x2,f(x3)?f(x2)

?????????BA?BC?(x1?x2)(x3?x2)?[f(x1)?f(x2)][f(x3)?f(x2)]…………………8分 ?x1?x2?0,x3?x2?0,f(x1)?f(x2)?0,f(x3)?f(x2)?0

??????????BA?BC?0,??B?(,?)

2即⊿ABC是钝角三角形……………………………………..9分

????????ABC(Ⅲ)假设⊿为等腰三角形，则只能是BA?BC 即：(x1?x2)2?[f(x1)?f(x2)]2?(x3?x2)2?[f(x3)?f(x2)]2即

?x2?x1?x3?x2?[f(x1)?f(x2)]2?[f(x3)?f(x2)]22f(x2)?f(x1)?f(x3)

?2aln(1?ex2)?2(a?1)x2?a[ln(1?ex1)(1?ex3)?(a?1)(x1?x3) ?2aln(1?ex2)?2(a?1)x2?a[ln(1?ex1)(1?ex3)?2(a?1)x2 ?2ln(1?ex2)?ln(1?ex1)(1?ex3)?(1?ex2)2?(1?ex1)(1?ex3)?e2x2?2ex2?ex1?x3?ex1?ex3

?2ex2?ex1?ex3 ① ????????????????..12分

而事实上, e1?e3?2e1xxxxx?x3?2ex2 ②

由于e1?e3,故(2)式等号不成立.这与(1)式矛盾. 所以⊿ABC不可能为等腰三角形..14分是

1222n2an2?n?否存在常数a,b使等式：对于一切n?N都成?????1?33?5(2n?1)(2n?1)bn?2立。 [解析]

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