2011陕西理工学院大学生数学建模竞赛
参 赛 题 号： B 参赛报名号 ： JM14 参 赛 队 员：1. 王赛 2. 张燕玲 3. 赵军
参 赛 日 期： 2011-5-20
房价问题的模型设计及相关问题讨论
王赛 张燕玲 赵军
（陕西理工学院 数学系 数学081班）
摘要: 本文选取了全国几类代表性城市，并收集了影响房价的因素，选
取了影响房价的主要因素，发现了房价和其主要因素之间近似成线性关系，进而建立表示房价的数学模型——多元线性回归模型（Y =a1*ΔA +a2*ΔB +a3*ΔC +a4*ΔD+ pjY）。对模型进行了全方面的论述，得出求解其中各个参数的方法，并最终求出房价。然后运用所求解的模型对北京未来四年房价进行预测，分析了对未来经济发展的影响。第一，用信息增益法找出影响房价的主要因素，再用概率论与数理统计的方法确定各因素与房价之间呈近似线性关系，确定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的参数，用回归分析确定模型精度及检验，从而得出一个完整的数学模型；第三，利用往年数据建立拟合曲线，预测了未来四年影响北京市房价的主要因素及房价走势；第四，根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析；第五，根据模型及建议进行合理的预测，最后分析模型的优缺点并提出了改进方向。
关键词： 房价问题 回归模型 拟合曲线 预测 经济发展
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一 问题的提出
房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。
请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及，可能对经济发展产生的影响并进行定量
根据本题，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，提出以下几个问题： 问题一：通过分析找出影响房价的主要因素，并建立房价问题的数学模型，对房价与主要因素进行定量分析。
问题二：选择某一地区，调查近些年来房价变化情况，并根据调查数据预测未来几年该地区房价的走势。
问题三：对房价的合理性和形成进行分析。
问题四：分析可能对经济发展产生的影响，进一步探讨给出合理的建议。
二、问题分析
2.1 问题一分析
本问题是要建立房价问题的数学模型。房价问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。
房价的关键是影响房价问题的因素，但影响房价问题的因素有很多，要逐一分析每一种因素是不可能办到的，只要抓住主要因素去着重分析即可。我们经网络、书籍等相关资源，大致得出以下几条对房价的影响产生主导作用的因素竣工面积、工薪收入、城乡人均储蓄余额、房屋成本等。通过分析主要因素与房价之间的变化关系，确定变量，分析比较，最终可以确定房价问题的模型—多元线性回归模型。
2.2 问题二分析
本问题的对某地区未来几年的房价走势进行预测，较为准确地预测房价，对社会发展极为重要，可以为经济决策提供参考，故其研究意义相当重大。我们需要确定的是具体研究哪一座城市的房价数据，然后再考虑房价走势的预测问题。
针对本问，可以收集该城市历年房价的真实数据，通过Matble软件对相关数据进行拟合，分别建立相关关系，用模型拟算出未来几年城市房价走势。
2.3 问题三分析
通过问题二的研究成果，可以知道房价及影响房价主要因素的趋势，结合其所得结果与现实情况加以分析。判断房价是否合理，若不合理，则分析相关的成因，看如何达到抑制房价的目的。
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2.4 问题四分析
房价飞涨对社会影响的杀伤力很大，房价飞涨不仅影响到房地产市场上供求双方，还具有很强的转移社会财富的效应，引起了民众和政府的高度关注。房价的高低涉及社会生活中多方面的经济利益，所以房价对经济发展的影响也是非常大的。通过对经济的影响及危害，提出更合理的措施及建议。
三、基本假设
假设一、 所选的城市物价和其他情况相对比较稳定，全局内没有大起大落的现象； 假设二、 未来几年不会发生特大自然灾害、战争动乱以及人为伤害； 假设三、 房屋建造成本用竣工房屋造价来代替；
假设四、 房屋价格通过商品房平均销售价（元/平方米）来表示；
假设五、 房价购买能力用人均储蓄存款、人均可支配收入来表示，银行利率每年保持稳定； 假设六、 忽略消费成本如交通费用、物业费用、停车费用等对房价的影响； 假设七、 供需平衡指：供应量=需求量。
四、定义符号说明
A：表示工薪收入（元）；
B：表示城乡人均储蓄余额（元/人）； C：表示造价（元/平方米）； D：人均全年住房支出（元）；
Y：商品房平均销售价（元/平方米）；
?t ： 为随机变量；
б 2： 序列的方差；
pjY,pjA,pjB,pjC,pjD分别表示Y,A,B,C,D序列的均值序列；
ΔY,ΔA,ΔB,ΔC,ΔD分别表示Y-pjY,A-pjA,B-pjB,C-pjC,D-pjD序列，即中心化序列；
a1,a2,a3,a4：模型参数；
S(a)：为残差的平方和； n ： 统计城市数（样本数）； μ ： 中心化序列的协方差。
五、模型的建立
模型推导过程：
表一为我国13个主要城市商品房平均销售价及其相关因素的统计表。依照此表可以求得各因素对商品房平均售价的影响程度，计算方法采用信息增益法。
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表一 13个主要城市商品房平均销售价及其相关因素的统计表[1]
竣工面人口增工薪收入积（万平长率（元） 方米） （?） 3.50 2.60 6.50 2.70 2.56 4.63 6.20 3.48 6.11 2.72 6.08 4.00 4.7 城乡人均 造价储蓄余额（元/平（元/人） 方米） 人均全城镇房房价年住房地产开（元/支出发投资平方（元） （亿元） 米） 2337.7 735.2 1520.0 1462.1 3338.5 2254.3 1136.3 1200.4 1084.6 1588.4 737.5 15.7 941.6 13799 6886 3263 12840 4983 7826 5427 3532 2680 3509 2931 2452 3223 地区 北 京 5225.5 天 津 2240.1 石家庄 7751.0 上 海 5719.9 南 京 43307.5 杭 州 40239.7 福 州 7435.1 武 汉 10280.7 长 沙 10073.8 成 都 11393.5 昆 明 3771.2 拉 萨 177.5 西 安 3128.2 平 均 11595.7 21105.61 83601.71 2219.07 551.99 14389.10 39781.95 2642.37 450.48 9830.57 19263.99 1851.67 187.24 23172.36 71355.13 2923.56 991.08 13480.72 25994.34 2147.98 512.11 16701.04 34427.49 2049.83 652.20 14211.49 19516.98 1509.06 469.24 10331.51 14271.78 1881.15 289.00 9854.09 12191.34 1667.34 315.10 10132.43 14141.95 1403.38 314.46 9641.68 10213.56 1564.40 432.74 10775.37 17878.61 1865.76 243.32 13611.7 28495.7 1901.9 424.2 10.24 13326.40 7805.05 999.54 105.27 1411.7 5642.4 5.1 信息增益计算法[2]
信息增益基于信息论中熵的概念。熵是对事件的属性的不确定性的度量。一个属性的熵越大，它蕴含的不确定信息越大。因此，ID3总是选择具有最高信息增益的属性作为当前结点的测试属性。
设S是s个数据样本的集合。假定类标号属性具有m个不同的值，定义m个不同的类
Ci?i?1,2,3?m?。设si是类Ci中的样本数。对于一个给定的样本分类所需要的期望信息
由下式给出：
I?s1,s2?sm????pilog2pi，
i?1m其中pi是任意样本属于Ci的概率，一般可以用
sis来估计。
设属性A有v个不同的值?a1,a2,?av?。可以用属性A将S划分为v个自给
?S1,S2,?Sv?，其中Sj包含S中这样一些样本，他们在A上具有值aj。
设Sij是子集Sj中类Ci的样本数。根据A划分子集的熵由下式给出：
E?A????j?1vs1j?s2j???smjsI?s1j,s2j?smj?，
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