第27课 正弦定理和余弦定理
[最新考纲]
内容 A 正弦定理、余弦定理及其应用 要求 B √ C
1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc·cos_A； b2＝c2＋a2－2ca·cos_B； c2＝a2＋b2－2ab·cos_C abc＝＝＝2R.(R为△sin Asin Bsin C内容 ABC外接圆半径) 222b＋c－a(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin cos A＝； 2bcC； 变形 c2＋a2－b2； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； cos B＝2ca形式 222abc(3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R cos C＝a＋b－c 2ab(1)已知两角和任一边，求另一角和解决 其他两条边； 问题 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 2.三角形常用面积公式 1(1)S＝2a·ha(ha表示边a上的高)； 111
(2)S＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A. 1
(3)S＝2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
(1)已知三边求各角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 1
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．( )
(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．( ) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°.( ) a＋b－ca(4)在△ABC中，sin A＝.( )
sin A＋sin B－sin C[解析] (1)正确．A＞B?a＞b?sin A＞sin B.
b2＋c2－a2
(2)错误．由cos A＝
2bc＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．
(3)错误．由b＜a知，B＜A.
(4)正确．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是________．
abc
钝角三角形 [由正弦定理，得2R＝sin A，2R＝sin B，2R＝sin C，代入得到a2＋b2－c2
a＋b＜c，由余弦定理得cos C＝2ab＜0，所以C为钝角，所以该三角形
2
2
2
为钝角三角形．]
3．(2016·全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已2
知a＝5，c＝2，cos A＝3，则b＝________.
2
3 [由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×3， 1
解得b＝3或b＝－3(舍去)．]
π
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝6，a＝1，b＝3，则B＝________.
π2πab3π2π或 [由正弦定理＝，代入可求得sin B＝，故B＝或B＝33sin Asin B233.]
2
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________． b2＋c2－a2c2＋16－12123 [由题意及余弦定理得cos A＝解得c＝2，
2bc＝2×4×c＝2，11
所以S＝2bcsin A＝2×4×2×sin 60°＝23.]
利用正、余弦定理解三角形 3π 在△ABC中，∠BAC＝4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，
AD＝BD，求AD的长. 【导学号：62172148】
[解] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC 3π
＝(32)2＋62－2×32×6×cos4 ＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝310. 又由正弦定理得sin B＝π
由题设知0＜B＜4， 所以cos B＝1－sin 2B＝
13101－10＝10. bsin∠BAC310
＝＝， a31010
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B， 故由正弦定理得
AB·sin B6sin B3
AD＝＝＝＝10.
sin?π－2B?2sin Bcos Bcos B
[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．
2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判
3
定中的应用．
[变式训练1] (1)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为________．
(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A45
＝5，cos C＝13，a＝1，则b＝________.
21abc
(1)30° (2)13 [(1)由正弦定理sin A＝sin B＝sin C及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－3c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－3c)a，即b2－c2＝a2－3ac，∴a2＋c2－b2a2＋c2－b23＝3ac.又∵cos B＝，∴cos B＝.
2ac2，∴B＝30°
45
(2)在△ABC中，∵cos A＝5，cos C＝13，
31235
∴sin A＝5，sin C＝13，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝5×1341263＋5×13＝65.
abasin B＝，∴b＝＝sin Asin Bsin A
63
1×6535 21.] 13
又∵＝判断三角形的形状
(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos A＝
bcos B，则△ABC的形状为________．
1
(2)(2017·镇江期中)在△ABC中，若cos A＝2，sin B＋sin C＝2sin A，则△ABC的形状为________．
(1)等腰三角形或直角三角形 (2)等边三角形 [(1)∵acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，π
即A＝B或A＋B＝2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
(2)∵sin B＋sin C＝2sin A，∴b＋c＝2a，
4
b2＋c2－a211
又cos A＝2，∴2bc＝2， ∴b2＋c2－a2＝bc，
又b＋c＝2a，则(b＋c)2－a2＝3bc＝3a2， ?b＋c?2
?，∴(b－c)2＝0，即b＝c， ∴a2＝bc＝?
?2?∴b＝c＝a，∴△ABC为等边三角形．]
[规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
[变式训练2] (1)设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋B (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是________三角形. 【导学号：62172148】 π (1)充分不必要 (2)等腰 [(1)由A＋B＋C＝π，A＋B (2)法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B. a2＋c2－b2 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·2ac＝c?a2＝b2?a＝b.] 与三角形面积有关的问题 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C. (1)若a＝b，求cos B； (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积． [解] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac. 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 5