a2＋c2－b21
由余弦定理可得cos B＝2ac＝4. (2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2， 故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝2. 1
所以△ABC的面积为2×2×2＝1. [规律方法] 三角形面积公式的应用方法：
111
(1)对于面积公式S＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [变式训练3] (2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
33
(2)若c＝7，△ABC的面积为2，求△ABC的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. 1π
可得cos C＝2，所以C＝3. 133
(2)由已知得2absin C＝2. π
又C＝，所以ab＝6.
3
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周长为5＋7.
6
[思想与方法]
ABCπ
1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A＋B＋C＝π，2＋2＋2＝2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．
2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. [易错与防范]
1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角 7
或直角 图形 关系式 解的 个数 a＝bsin A a＜b 两解 bsin A＜ a≥b a＞b 一解 一解 一解 2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解．
课时分层训练(二十七)
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、填空题
1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝__________. 615103 [由正弦定理可得＝，所以sin B＝33，再由b＜a，可得B为锐3sin B
2角，
6
所以cos B＝1－sinB＝3.]
22．(2016·天津高考改编)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________.
1 [由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．]
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝3，则△ABC的面积为________．
a2＋b2－c2131 [依题意得cos C＝＝，C＝60°，因此△ABC的面积等于42ab22absin 133C＝2×3×2＝4.]
4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是________(填“一解”“二解”“不存在”)．
8
不存在 [∵bsin c＝40×sin 60°＝203，c＝20， ∴bsin c>c， ∴△ABC不存在．]
π15．(2016·全国卷Ⅲ改编)在△ABC中，B＝4，BC边上的高等于3BC，则sin A＝________.
310aπ
10 [过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝3.∵B＝4，∴ADa2
＝BD，∴BD＝AD＝，DC＝a，∴AC＝335
3aa
由正弦定理得＝，
sin∠BACsin 45°
5?a?2?2?2
?3?＋?3a?＝a，在△ABC中，
3????
310
∴sin ∠BAC＝10.]
?π?
6．若acos(π－A)＋bsin?2＋B?＝0，内角A，B的对边分别为a，b，则三角
??形ABC的形状为________．
?π?
等腰三角形或直角三角形 [因为acos(π－A)＋bsin?2＋B?＝0，
??
所以－acos A＋bcos B＝0，所以－sin Acos A＋sin Bcos B＝0，所以sin 2A＝π
sin 2B，所以A＝B或A＋B＝2，所以三角形ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．]
7．已知△ABC中，AB＝3，BC＝1，sin C＝3cos C，则△ABC的面积为________. 【导学号：62172149】
3π [由sin C＝3cos C得tan C＝3＞0，所以C＝23. BCAB13
根据正弦定理可得sin A＝sin C，即sin A＝＝2，
32
9
1ππ
所以sin A＝2.因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝6，所以B＝2，即三角形为直角三角形，
13
故S△ABC＝2×3×1＝2.]
8．(2017·镇江期中)在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么tan C＝________.
－15 [∵sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c， ∴a∶b∶c＝2∶3∶4， 设a＝2x，则b＝3x，c＝4x， 4x2＋9x2－16x21∴cos C＝＝－4. 2×2x×3x15
又c∈(0，π)，∴sin c＝4， sin C
∴tan C＝cos C＝－15.]
33
9．(2017·盐城模拟)在锐角△ABC中，AB＝2，BC＝3，△ABC的面积为2，则AC的长为________．
11337 [∵S△ABC＝2AB·BC·sin B＝2×2×3sin B＝2， 3∴sin B＝2. 1
又△ABC为锐角三角形，故cos B＝2. 在△ABC中，由余弦定理得
1
AC2＝4＋9－2×2×3cos B＝13－12×＝7.
2∴AC＝7.]
10．(2017·苏州期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若1
tan A＝2tan B，a2－b2＝3c，则c＝________.
sin A2sin B
1 [∵tan A＝2tan B，∴cos A＝cos B，
10