机器人动力学研究的典型方法和应用
（燕山大学 机械工程学院）
摘 要：本文介绍了动力学分析的基础知识，总结了机器人动力学分析过程中比较常用的动力学分析的方法：牛顿—欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、虚功原理法、微分几何原理法、旋量对偶数法、高斯方法等，并且介绍了各个方法的特点。并通过对PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构动力学方法研究，详细分析了各个研究方法的优越性和方法的选择。
前 言：机器人动力学的目的是多方面的。机器人动力学主要是研究机器人机构的动力学。机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，也是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，同时也是机器人系统中被控制的对象。目前用计算机辅助方法建立和求解机器人机构的动力学模型是研究机器人动力学的主要方法。动力学研究的主要途径是建立和求解机器人的动力学模型。所谓动力学模指的是一组动力学方程（运动微分方程），把这样的模型作为研究力学和模拟运动的有效工具。
报告正文：
（1）机器人动力学研究的方法
1）牛顿—欧拉法
应用牛顿—欧拉法来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动和转动分别用牛顿方程和欧拉方程。把机器人每个连杆（或称构件）看做一个刚体。如果已知连杆的表征质量分布和质心位置的惯量张量，那么，为了使连杆运动，必须使其加速或减速，这时所需的力和力矩是期望加速度和连杆质量及其分布的函数。牛顿—欧拉方程就表明力、力矩、惯性和加速度之间的相互关系。
若刚体的质量为m，为使质心得到加速度a所必须的作用在质心的力为F，则按牛顿方程有：F?ma
???的转动，为使刚体得到角速度?、角加速度?必须在刚体上作用一力矩M，则按欧拉方程有：
M?I??I?
式中，F、a、M、?、?都是三维矢量；I为刚体相对于原点通过质心并与刚
体固结的刚体指标系的惯性张量。
牛顿—欧拉方程法是利用牛顿定律和欧拉方程建立动力学模型的方法。此法物理意义清晰，适合进行并联机构的正动力学问题和逆动力学问题。但此法需要考虑每个关节的约束反力，建模过程比较繁琐。
2）拉格朗日法
机器人动力学分析过程中采用拉格朗日方程法一般为二阶拉格朗日方程，是一种比较适合计算机计算方法。拉格朗日函数L被定义为系统的动能Ek和位能Ep之差，即：L=Ek-Ep
系统动力学方程式，及拉格朗日方程日下：
式中，表示动能和位能的坐标，为相应的速度，而为作用在第i个坐标上的力或是力矩。是力或是力矩，由为直线坐标或角坐标所决定。这些力、力矩和坐标称作广义力、广义力矩和广义坐标，n为连杆数目。 拉格朗日法是基于能量平衡原理的建模方法。该方法通过求系统的动能和势能，建立拉格朗日函数，最终可以得到标准的拉格朗日方程。在求解过程中，避免了运动学加速度和角加速度的求解，推导过程相对简单。利用矩阵表示动力学模型，便于对机器人进行动力学控制。但是建模过程过于复杂，运算量较大一般在进行动力学分析时，常将机器人简化或忽略惯性影响，已达到简化模型提高运算效率的目的。 3）凯恩法
凯恩法是用达郎倍尔原理及虚位移原理建立动力学方程，它是建立机器人机构动力学模型的一种普遍方法，其基本思想是以广义速率代替广义坐标作为系统的独立变量。
凯恩动力学方程为：
?（r）?0 ，r=1,2，?，n F（r）F?意为广义动力与广义惯性力之和等于零。
凯恩方程法在动力学建模中的突出优点是只需要计算矢量点积、叉积运算，避免了求导运算。因此计算效率高，便于计算机控制。 4）虚功原理法
虚功原理法是利用虚功原理建立动力学模型的方法，该方法避免了对关节力的计算，具有较高的运算效率。
除了以上方法外，还有高斯法、微分几何原理法、旋量对偶数法等。
（2）机器人动力学的应用
研究机器人动力学模型主要应用于机器人的设计和离线编程。在设计中需根据
连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算实际方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。
动力学研究物体的运动和受力之间的关系。机器人动力学有两个问题需要解决：动力学正问题，即根据关节驱动力矩或者力计算操作臂的运动（关节位移、速度和加速度）；动力学逆问题，即已知轨迹运动对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩或者力。
例：基于动力学的PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构设计
1、机构介绍
PTl300型码垛机器人虚拟样机如图1所示。PTl300型码垛机器人的基本结构由底座、主臂、前臂、前臂驱动臂、前臂驱动连杆、水平保持连杆、水平保持三角臂、末端手腕支架及平衡弹簧缸组成。各关节依次称之为腰关节、肩关节、肘关节以及腕关节。平衡弹簧缸一端固定
在距底座一定高度处，另一端固定在主臂顶端，主臂倾动时，平衡弹簧缸(即平衡弹簧)由于被拉伸而在肩关节产生转矩，以此达到平衡主臂关节驱动力矩的目的。
2计问题描述
PT1300型码垛机器人主臂弹簧平衡机构如图2所示。PTl300型码垛机器人主臂弹簧平衡机构的平衡弹簧缸一
端固定在距底座高d处，另一端固定在主臂顶端，当主臂偏离竖直初始位置时平衡弹簧缸产生的作用力作用在肩关节上。如当主臂由初始位置转过角度如时弹簧缸与主臂之间就产生夹角0。，此时，处于拉伸状态下的弹簧在连接点处就产生拉力F，平衡弹簧缸在点O对机器人主臂产生平衡力矩肘，从而达到平衡目的。图2中，P为前臂自重与末端负载在主臂顶端的作用力，G为主臂自重，Z：为主臂长度。 弹簧产生的拉力F为：F= KΔX
式中：K为弹簧刚度系数；ΔX为弹簧变形量。 拉力F的力臂，为：
（2）
式中：Z：为主臂长度；0：为主臂由初始竖直位置OY转过的角度；d为弹簧底端固定处距机器人底座的高度。弹簧产生的平衡力矩肘为：
M= （3）
2．1优化对象与约束条件
由式(2)和式(3)知平衡力矩M的大小与弹簧的刚度系数K、弹簧变形量缸以及弹簧底端距机器人底座的高度d有关，而弹簧刚度系数K是影响弹簧拉力的重要参数，故选取弹簧刚度系数K作为优化对象，即Xo=K，给定弹簧初始长度=1230mm，d=280mm。K取值应在一定范围内，即，建议取。 2．2 目标函数
弹簧平衡机构主要作用是平衡主臂关节驱动力矩，改善机器人动力学性能，因此本文选取未平衡前的主臂关节驱动力矩最大值经平衡力矩M平衡后的值()最小及主臂关节驱动力矩波动量最大值最小作为动力学性能优化目标，构造多目标优化问题。由于多目标优化问题，可能存在多个目标函数之间的矛盾情况，即一般不存在公共最优解，为此，考虑利用加权法将多目标优化问题转化成单目标优化问题进行求解，取目标函数加权系数均为0．5，构造评价函数，为： （4）
式中：7-：为未经平衡弹簧平衡前的主臂关节驱动力矩。至此，PT1300型码垛机器人平衡机构优化设计可
归结为如下单目标优化问题：
3、力学分析
由式(4)、式(5)可知，优化目标与主臂关节驱动力矩：息息相关，因此本文运用基于凯恩(Kane)方程的动力学算法建立码垛机器人刚体逆动力学模型，该方法是在拉格朗日引入的广义坐标基础上，导出系统的数学模型后经过后推，得出其显式表
达的动力学方程，进一步得出机器人各关节驱动力矩。 式(6)为基于凯恩(Kane)方程的动力学算法递推公式：
（6）
式中：分别为杆角速度及偏角速度；为杆i一1坐标系原点到杆i坐标系的旋转变换矩阵；为杆i广义角速度；为杆i坐标系的单位向量；为j；号广义速率；为非j号广义速率；分别为杆i线速度及质心线速度；为杆i—I坐标系原点到杆i坐标系原点的距离向量；为杆i质心相对于，的偏线速度；为杆i坐标系原点到杆i质心的距离向量；为杆i相对于质心Ci的惯性张量；为杆i质量；为向质心Ci简化后的合力；为质心Ci简化后的合力矩；、分别为杆i的加速度及质心加速度；为杆i相对于的偏线速度；为相对于所需的力矩。
3．1确定主、从动关节关系
PTl300型码垛机器人机构如图3所示。图3中，为主动关节，为从动关节，由于关节受水平保持连杆约束，为了使末端执行器一直保持水平，亦将看作主动关节，由于忽略末端水平保持连杆，原四自由度局部闭链机器人转化为五自由度。在不影响机器人动力学建模精度的前提下，结合机构运动特性，将负载连同末端执行器直接固定在前臂末端(靠近负载一端)，忽略末端执行器旋转动作。图4所示为PTl300型码垛机器人等效开链机构，将机器人闭链结构拆分成左、右两路开链。由机器人结构条件得，，和=且左、右支链通过机器人运动学正解所得末端执行器位姿应保持