江苏省木渎高级中学天华学校提优训练（1）---函数性质及应用
一、知识点梳理 1.考纲要求
内 容 函数的概念 函数的基本性质 指数与对数 函数概念与基本初等函数Ⅰ 要 求 A B C √ √ √
指数函数的图象与性质 √ 对数函数的图象与性质 √ 幂函数 函数与方程 √ √
函数模型及其应用 √
2.知识点归纳总结
１．研究函数问题要树立定义域优先的意识，否则解题中极易出错．
２．具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于原点对称．奇函数若在x?0处有定义则一定有f?0??0，偶函数一定有f?x??f?x?．
3.比较大小是对指数函数、对数函数和幂函数性质考查的常见题型，熟记它们的图像特点并结合0、1比较是解这类题的通法.
4．函数图象的对称性的一些常见结论：
a?b对称； 2②若f?a?x???f?a?x?，对x?R恒成立，则y?f?x?关于点?a,0?对称；
①若f?a?x??f?b?x?，对x?R恒成立，则y?f?x?关于x?③函数y?f?a?x?与y?f?b?x?的图象关于直线x?b?a对称. 25．函数图像的平移：把y?f?x?的图像向左平移a（a>0）个单位，再向上平移b(b>0)个单位得到y?f?x?a??b的图象，简记为“上加下减，左加右减”. 二、考题回顾 1. 函数y?x(x?1)?x的定义域为 ?x|x≥1? ???02. 已知集合A?xlog2x?2,B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是(c,??)，其中c= 4 .
3. 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有
??5xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是 0 24. 已知偶函数f(x)在区间?0,??)单调增加，则满足f(2x?1)＜f()的x 取值范围是 （
1312，） 335. 设函数y?f(x)在(??,??)内有定义，对于给定的正数K，定
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?f(x),f(x)?K,1?x取函数f(x)?2。当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为 fK(x)??2?K,f(x)?K. (??,?1 ) x6. 若函数f(x)=a-x-a(a>0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是 a?1 .
三、例题精析
例1. 已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得极小值m?1(m?0)．设f(x)?g(x)． x（1）若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； （2）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点．
解：（1）依题可设g(x)?a(x?1)2?m?1 (a?0)，则g'(x)?2a(x?1)?2ax?2a； 又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1 ?g(x)?(x?1)2?m?1?x2?2x?m， f?x??g?x?m?x??2， xx2222设Pxo,yo，则|PQ|?x0?(y0?2)?x0?(x0???m2) x021世纪教育网m2?2x?2?2m?22m2?2m?22|m|?2m
x020m22当且仅当2x?2时，|PQ|取得最小值，即|PQ|取得最小值2
x020当m?0时，(22?2)m?当m?0时，(?22?2)m?2 解得m?2?1 2 解得m??2?1
m?2?0(x?0)，得?1?k?x2?2x?m?0 ?*? xmm当k?1时，方程?*?有一解x??，函数y?f?x??kx有一零点x??；
22（2）由y?f?x??kx??1?k?x?当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0， 若m?0，k?1?1， m第 2 页 共 10 页
函数y?f?x??kx有两个零点x?若m?0，k?1?1?1?m(1?k)?2?4?4m(1?k)，即x?；
k?12(1?k)1， m函数y?f?x??kx有两个零点x?1?1?m(1?k)?2?4?4m(1?k)，即x?；
k?12(1?k)1, m当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??0, k?1?函数y?f?x??kx有一零点x?1??m k?1m； 2综上，当k?1时, 函数y?f?x??kx有一零点x??当k?1?11(m?0)，或k?1?（m?0）时， mm函数y?f?x??kx有两个零点x?当k?1?1?1?m(1?k)；
k?111??m. 时，函数y?f?x??kx有一零点x?mk?1a?0.1?15ln, x?6,??a?x例2. 有时可用函数 f(x)??描述学习某学科知识的掌握程度.
?x?4.4, ?6??x?4其中x表示某学科知识的学习次数（x?N），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
（1）证明：当x ?7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；
*（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科. 证明（1）当x?7时，f(x?1)?f(x)?0.4
(x?3)(x?4)而当x?7时，函数y?(x?3)(x?4)单调递增，且(x?3)(x?4)?0 故函数f(x?1)?f(x)单调递减
当x?7时，掌握程度的增长量f(x?1)?f(x)总是下降
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(2)有题意可知0.1?15ln整理得
a?0.85 a?6a?e0.05 a?6e0.05?6?20.50?6?123.0,123.0?(121,127]…….13分 解得a?0.05e?1由此可知，该学科是乙学科……………..14分 例3. 设a为实数，函数(1)若(2)求
f(x)?2x2?(x?a)|x?a|. f(0)?1，求a的取值范围； f(x)的最小值； (不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的解集. f(x),x?(a,??)，直接写出．．．．
(3)设函数h(x)??a?0解：（1）若f(0)?1，则?a|a|?1??2?a??1
?a?122（2）当x?a时，f(x)?3x?2ax?a,f(x)min2?f(a),a?0?2a,a?0?? ??a??2a2f(),a?0?,a?0??3?3 当x?a时，f(x)?x?2ax?a,f(x)min222?f(?a),a?0???2a,a?0????2
??f(a),a?0?2a,a?0 综上f(x)min??2a2,a?0? ??2a2,a?0??322222（3）x?(a,??)时，h(x)?1得3x?2ax?a?1?0，??4a?12(a?1)?12?8a
当a??66时，??0,x?(a,??)； 或a?22?a?3?2a2a?3?2a266(x?)(x?)?0 当?时，△>0,得：??a??3322??x?a讨论得：当a?(26,)时，解集为(a,??); 22a?3?2a2a?3?2a262,?)时，解集为(a,当a?(?]?[,??); 2233a?3?2a222,]时，解集为[当a?[?,??). 223第 4 页 共 10 页
例4. A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数?(x)组成的集合：①对任意x?[1,2]，都有?(2x)?(1,2) ； ②存在常数L(0?L?1)，使得对任意的x1,x2?[1,2]，都有
|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|
(Ⅰ)设?(x)?31?x,x?[2,4]，证明：?(x)?A
(Ⅱ)设?(x)?A，如果存在x0?(1,2)，使得x0??(2x0)，那么这样的x0是唯一的; (Ⅲ)设?(x)?A，任取xl?(1,2)，令xn?1??(2xn),n?1,2,???,证明:给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式|xk?lLk?1?xk|?|x2?x1|
1?L解：对任意x?[1,2]，?(2x)?31?2x,x?[1,2]，33??(2x)?35，1?33?35?2，所以?(2x)?(1,2) 对任意的x1,x2?[1,2]，
|?(2x1)??(2x2)|?|x1?x2|3?323?1?2x1?2?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?2，
?1?2x1?23?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?，
所以0＜
2?1?2x1?22?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?222?2， 3令
3?1?2x1??3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?＝L，0?L?1，
|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|
所以?(x)?A
??(1,2),x0?x0?使得x0??(2x0)，x0???(2x0?)则 反证法:设存在两个x0,x0由|?(2x0)??(2x0)|?L|x0?x0|，得|x0?x0|?L|x0?x0|，所以L?1，矛盾，故结论成立。
////x3?x2??(2x2)??(2x1)?Lx2?x1，所以xn?1?xn?Ln?1x2?x1
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