Lk?1|xk?p?xk|??xk?p?xk?p?1???xk?p?1?xk?p?2????xk?1?xk??|x2?x1|
1?L?xk?p?xk?p?1?xk?p?1?xk?p?2??xk?1?xk?Lk?p?2x2?x1?Lk?p?3x2?x1＋?
Lk?1LK?1x2?x1 x2?x1?1?L
四、课后练习
1. 函数y?log0.5(|x?1|?2)的值域为 (??，?1] 2. 若函数f(x)?logm(x?x2?2m2)是奇函数，则m? 2 23. 当0?x?1时，f(x)?x2，g(x)?x，h(x)?x?2，则三者的大小关系为
f(x)?g(x)?h(x) 2，??)上是增函数，则实数a的取值范围是 4. 已知函数y?log3(3x?ax?5)在[?1(?8,?6] 5. 函数f(x)?ax?loga(x?1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a?
1 2?x2?4x,6. 已知函数f(x)??2?4x?x,(?2,1) x?0x?0若f(2?a)?f(a),则实数a的取值范围是
27. 已知函数f(x)?alog2?blog3?2,若f(xx1)?4.则f(2009)的值为 0 20098. 对于在区间[a,b]上有意义的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意x?[a,b]，均有
|f(x)?g(x)|?1, 那么我们称f(x)和g(x)在[a,b]上是接近的．若f(x)?log2(ax?1)与g(x)?log2x在闭区间[1,2]上是接近的，则a的取值范围是 [0,1] ． 9. 函数y?f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x?1)?f(x?1)成立．已知当x?[1，2]时，f(x)?logax． （1）求x?[?1，1]时，函数f(x)的表达式；
11，且x?[?1，3]时，解关于x的不等式f(x)?． 24解 ∵f(x?1)?f(x?1)，且f(x)是R上的偶函数，
（2）若函数最大值为
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0]，?loga(2?x)，x?[?1，∴f(x)?f(x?2)??
log(2?x)，x?[0，1].?a（2）由于函数以2为周期，故考查区间[?1，1]，
11知f(0)?f(x)max?loga2?，即a?4． 221若0?a?1，则当x?1或x??1时，f(x)有最大值，即loga(2?1)?矛盾舍去，
2综上可得，a?4．
1当x?[?1，1]时，若x?[?1，0]，则log4(2?x)?，∴0?x?2?2．
41log(2?x)?若x?(0，，则，∴0?x?2?2． 1]44若a?1时，由f(x)的最大值为
∴ 此时满足不等式的解集为(2?2，2?2)．
∵f(x)是以2为周期的周期函数，∴当x?(1，3]时，f(x)?1的解集为(2，4?2)． 4综上可知，所求不等式的解集为(2?2，2?2)?(2，4?2)．
10. 已知二次函数y?f1(x)的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y?f2(x)的图象与直线y?x的两个交点间距离为8，f(x)?f1(x)?f2(x)． （1）求函数f(x)的表达式；
（2）证明：当a?3时，关于x的方程f(x)?f(a)有三个实数解． 解 （1）由已知，设f1(x)?ax2，由f1(1)?1得a?1，∴f1(x)?x2．
k(k?0)，它的图象与直线y?x的交点分别为A(k,k)，B(?k,?k)由x88|AB|?8得k?8，∴f2(x)?．故f(x)?x2?．
xx88882222（2）方法1 由f(x)?f(a)得x??a?，即??x?a?．在同一坐标系内
xaxa8822作出f2(x)?和f3(x)??x?a?的大致图象（如图所示），
xayy?f2(x)其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限
y?f3(x)82的双曲线，f3(x)的图象是以（0，a?）为顶点，开口向下
ax的抛物线．故f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点， O2 设f2(x)?即f(x)?f(a)有一个负数解．
882，当a?3时，f3(2)?f2(2)?a??8?0， aa∴当a?3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点（2，f3(2)）在f2(x)图象的上方，
又∵f2(2)?4，f3(2)??4?a?2∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)?f(a)有两个正数解． 因此，方程f(x)?f(a)有三个实数解．
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方法2 由f(x)?f(a)得x?2888?a2?，)?0，即(x?a)(x?a?得方程的一个解xaaxx1?a．方程x?a?8?0 化为ax2?a2x?8?0，由a?3，??a4?32a?0， ax?a2?a4?32a?a2?a4?32a得 x2?，x3?．
2a2a∵x2?0，x3?0，∴x1?x2 且x2?x3．
?a2?a4?32a4若x1?x3，即a?，则3a?a4?32a，即a?4a，得a?0或
2aa?34，这与a?3矛盾，∴x1?x3． 故原方程有三个实数解．
11. 已知a 是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a．如果函数y?f(x)在区间[?1，1]上有零点，求a的取值范围．
解 （1）当a?0时，f(x)?2x?3．令2x?3?0 得x?∴f(x)在[?1，1]上无零点，故a?0．
（2）当a?0时，f(x)?2ax2?2x?3?a的对称轴为x??3?[?1，1]， 21． 2a1??a?511?f(?)?0??1，即a?时，须使?① 当? 即． ?2a2a2a?1???f(1)?0∴a的解集为?．
?1?f(?1)?011???3?a?0?0，即0?a?时，须使?②当?1?? 即?2a， 2a2f(1)?0???a?1解得a?1，∴a的取值范围是[1，??)． （3）当a?0时，
?f(?1)?05?11?a???1，即a??时，须使?① 当0?? 即?1， 1??3?a?0f(?)?02a2???2a2a?解得a?1?3?7?3?7或?a?5，又a??，
222∴a的取值范围是(??，② 当??3?7]． 2?a?5?f(?1)?011?1，即??a?0时，须使? 即?． 2a2?a?1?f(1)?0?3?7]?[1，??)． 2∴a的解集为?．
综上所述，a的取值范围是(??，
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12. 已知函数f1(x)?3x?p1，f2(x)?2?3x?p2（x?R,p1,p2为常数）．函数f(x)定义为：
对每个给定的实数x，f(x)???f1(x),若f1(x)?f2(x)
?f2(x),若f1(x)?f2(x)（1）求f(x)?f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1,p2表示）；
（2）设a,b是两个实数，满足a?b，且p1,p2?(a,b)．若f(a)?f(b)，求证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为
b?a（闭区间[m,n]的长度定义为n?m） 2解：（1）由f(x)的定义可知，f(x)?f1(x)（对所有实数x）等价于
f1?x??f2?x?（对所有实数x）这又等价于3x?p1?2?3x?p2，即
3x?p1?x?p2?3log32?2对所有实数x均成立. （*）
由于x?p1?x?p2?(x?p1)?(x?p2)?p1?p2(x?R)的最大值为p1?p2， 故（*）等价于3p1?p2?2，即p1?p2?log32，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i）当p1?p2?log32时，由（1）知f(x)?f1(x)（对所有实数x?[a,b]） 则由f?a??f?b?及a?p1?b易知p1?a?b， 2y p?x(b,f(b)?(a,f(a)?31,x?p1再由f1(x)??x?p的单调性可知，
1??3,x?p1函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度
a?bb?a?为b?（参见示意图1） O x 图1 22（ii）p1?p2?log32时，不妨设p1?p2,，则p2?p1?log32，于是
当x?p1时，有f1(x)?31当x?p2时，有f1(x)?3从而 f(x)?f2(x) ；
p?x?3p2?x?f2(x)，从而f(x)?f1(x)；
x?p1?3p2?p1?x?p2?3p2?p1?3x?p2?3log32?3x?p2?f2(x)
y 当p1?x?p2时，f1(x)?3由方程3x?p1x?p1，及f2(x)?2?3p2?x，(a,f(a)) (x0,y0) (b,f(b)) ?2?3p2?x
(p2,2) (p1,1) O 第 9 页 共 10 页
解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为
x 图2 p1?p21?log32 ⑴ 221显然p1?x0?p2?[(p2?p1)?log32]?p2，
2这表明x0在p1与p2之间。由⑴易知 x0??f1(x),p1?x?x0 f(x)??
x?x?pf(x),02?2?f1(x),a?x?x0综上可知，在区间[a,b]上，f(x)?? （参见示意图2）
?f2(x),x0?x?b故由函数f1(x)及f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为
(x0?p1)?(b?p2)，由于f(a)?f(b)，即3p1?a?2?3b?p2，得
p1?p2?a?b?log32 ⑵
1b?a故由⑴、⑵得 (x0?p1)?(b?p2)?b?[p1?p2?log32]?
22b?a综合（i）（ii）可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为。
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