为节打开，能量为?。拉链只能从左端打开，并且第s节左端的各节都打开时才能打开。求拉链有E分布配分函数，在低温极限下，求开节的平均数。
第三章习题
1 试找出二维理想气体分子平动动能的分布，并计算分子平动动能的平均值和方均值。
2 从处于热力学平衡态的理想气体中任意取两个分子1和2，试求它们的速度分别处于v--v+dv,u--u+du之间的概率，以及两个粒子总能量处于e--e+de之间的概率，并求出e的平均值。
3 找出在单位时间内到达单位器壁表面积上速率在v--v+dv之间的分子数目表达式，进而证明单位时间碰在单位器壁表面上的总分子数为nu/4,其中n为分子密度，u为分子平均速率。
4 试计算由器壁上一细孔泄出的分子的平均速率和方均根速率，若是单原子分子求其平均能量，并讨论为什么不等于3kT/2？
5 若将与水平衡的蒸汽看成理想气体，并认为打到水平面的分子不反射。水温298K时的饱和蒸汽压为3173Pa试计算单位时间从液体单位表面积蒸发出的分子数。
6 设有某种粒子其动能和动量的关系是ε=api,今有N个这种粒子组成的理想气体，其平衡分布函数为dW=4pVf(p)p2dp,式中f(p)为任意函数，试求气体压强与单位体积能量之间的普遍关系。
7 由炽热灯丝发射出的电子，形成密度为n的气体这些电子通过一系列狭缝而形成定向的射线束，其截面积为1cm2,射线束通过一个电压为V的减速电场，使部分电子停下来，试求单位时间内能通过这个减速电场的电子数。
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8 在圆柱形气缸内，气体进行可逆绝热膨胀，假设活塞移动的速度u比气体分子的平均速度小得多，试证明与活塞碰撞的所有分子弹回后所损失的动能恰好等于气体膨胀所作的功，符合能量守恒定律。
9 某种气体的原子辐射出波长为λ0的光，这原子相对于观察者以速率v运动，由于多普勒效应，观察者看到的波长为λ=λ0(1+v/c)，其中c为光速。如果原子的速度分布满足麦克斯韦速度分布，试找出这种气体原子的光谱线强度的分布及光谱线宽度(???0)2的表达式。
*10 器壁极薄的矩形容器中装有温度为T而压强极低的水银蒸汽，在上器壁开一个半径小于水银平均自由程的小园孔。在园孔上方距离为h处，放置一个平行于器壁的金属收集板，将收集板冷却，当任何水银原子打到上面时，蒸汽都立刻凝聚。导出在时刻t用收集点与小孔法线之间的夹角?表示的水银在收集板上的分布表达式。
*11 一容器贮有压强为P的气体，它的外面为真空，器壁上有面积为A的一个小孔，气体分子可以通过泻流的方式从小孔进入真空，在真空中距孔为L的正前方有一半径为R的圆盘，通过圆盘中心的法线指向小孔，假设泻流分子被圆盘弹性反射，试证明当R< 12 试计算单原子分子理想气体在重力场中的内能、自由能与定容热容量，气柱的高度为H，截面为S。若理想气体由双原子分子或多原子分子组成，试计算其内能和热容。 13 吸附在表面上的单原子分子，能在表面上自由运动，可以看作是二维理想气体，式计算其摩尔热容，设表面的大小不变。 *14 氦原子能够被金属表面吸附，将氦原子从金属移到无穷远必须做一定量的功W。在二维金属表面上氦原子的运动是完全自由的，没有相互作用。如果这样的金属表面与氦气在压强为P时接触，同时整个系统处于平衡，温度为 27 T，金属表面单位面积上平均吸附的原子数等于什么？用题目中所给的量和基本常数表示你的答案。 15 服从玻耳兹曼分布的某种理想气体粒子，其能量与动量的关系为 ??cp,c 为光速。若单位质量中包含N个粒子，试计算此气体的定容热容量。 16 二维谐振子的两个振动频率都等于?，它的能量为??(n?1)h?，考虑其能级简并度并计算它的配分函数、平均能量和比热容。 17 三维谐振子的三个振动频率都等于?，它的能量为??(n?3/2)h?,考虑其能级简并度比计算它的配分函数、平均能量和比热容。 *18 s维谐振子的能量本征值为?i?(i?s/2)h?,i?0,1,2,3?,n为谐振子频率。证明能级i中有(i+s-1)!/i!(s-1)!个量子态，并计算此谐振子的配分函数、平均能量和熵。 19 二氧化碳分子是线性分子，有四个振动方式，振动频率分别为 ?1??2?2010?1010Hz,?3?3900?1010Hz,?4?7050?1010Hz 试计算它的定压热容，并与下列实验数据比较： 温度K 93 CP/Nk208 4.52 331 4.70 393 4.35 483 5.81 632 5.16 869 6.33 9054 6.50 16 .44 20 二氧化碳的分子量为M=44，转动惯量为I?71?10?47kg?m2(振动频率见上题)，计算1摩尔气体在1大气压及25℃时的熵。 *21 氢分子中两个原子间势能的经验公式为V?D[e?2a(r?r0)?2e?a(r?r0)] 28 其中r为原子间距,D=7×10-19J,a=2×1011/m,r0=8×10-11m,氢原子质量m=1.672×10－27,计算转动和振动特征温度，给出在温度分别为250K和2500K时的定压摩尔热容和定容摩尔热容。 22 假设双原子分子的振动是非线性的，振动能量的经典表达式为 ?v?p2/2??kq2/2?aq3?bq4 式中最后两项是非简谐的修正项，其数值远较前面两项为小。试证明，振动内能可表为 Uv?NkT?Nk2T2? 2Cvv?Nk?2NkT? 振动热容量为 其中 ??15a2/2k3?3b/k2 提示：由于非简谐修正项很小，在计算配分函数时可以作近似： exp?(??v)?(1??aq3??bq4??2a2q6)exp?[?(p2/2??kq2/2)] 2in2?)/2I， 23 双原子分子转动能量的经典表达式为?r?(p2试计算在经??p?/s典近似下的转动配分函数以及转动内能和熵。 24 假设双原子分子在平衡距离附近作简谐振动，试证明分子的平均线度等于两原子的平衡距离。这说明在简谐振动的分子不会发生热膨胀。这一结论对晶体也同样适用。 25 分子具有固有的电偶极矩，在电场E下转动能量的经典表达式为 r?dEco??r??0s 0r其中?0是没有电场时的转动能量，证明在经典近似下转动配分函数为 zr?(4?2I/?h2)(e?d0E?e??d0E)/?d0E 26 证明上题中极化强度 ??nd0cos??nd0[(ex?e?x)/(ex?e?x)?1/x] 2E/3kT其中x?d0E/kT,n为单位体积内的分子数。又当x<<1时证明??d0 29 ?j?2 27 证明二维玻色理想气体的平均能量为E?AkT(2?mkT/h2)?j?1e/j *28 证明二维自由玻色子系统不能产生玻色-爱因斯坦凝聚。 29 相对论电子的能量为?2￡?c2p2?2?c2p2?m0c4,其中m0是电子的静止质量，c是光速。试求完全简并性电子气体的能量和物态方程。 30 假设极端相对论电子的能量与动量的关系为??cp，试计算绝对零度时该种电子气体的费米能级和内能。 31 某种样品中的电子服从费米分布，其态密度为 ??0,g(?)?0;??0,g(?)?g0 电子的总数为N，试求:a T=0K时系统的化学势?0和总能量E0；b 证明系统的非简并条件为T>>N/D0k;c 证明系统强烈简并时cv?T。 32 证明0K时极端相对论电子气体每秒钟碰撞到器壁单位面积上的次数??cN/4V。 *33 1010个微弱相互作用的无自旋粒子，每个都具有电子的质量，它们的外貌虽然相同但是遵守经典统计。这些粒子限制在边长为10－6cm的方箱中，每个粒子与方箱之间都有两种相互作用势能，一个是吸引势并导致将粒子完全局限在方箱中心的束缚状态，具有能量－1eV;另一相互作用是强烈的排斥势以阻止粒子通过箱壁逃逸。求方箱内压强为1大气压时系统的温度。 34 计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数。 35 找出N个光子气体的态密度与其能量的函数关系，光子气体的能量 N为E??i?1cpi *36 如果黑体辐射只占满二维空间，面积为S，在达到平衡时，温度为T。试导出二维空间辐射的普朗克公式和相应的斯忒藩定律。 37 计算单位时间碰到单位面积上的光子所携带的能量，证明空腔辐射的辐射通量密度为J??5k4T4/15h3c3。 30