学科：奥数
教学内容：第2讲 数字谜
知识网络：
所谓的数字谜问题是指在某种算式或者图形中，含有一些用空格、文字或字母等符号表示的待定数字，要求填上合适的数字，使算式或者图形成立的一类问题。
此类问题的知识基础就是根据运算的法则，加、减、乘、除的互逆关系及适当地运用有关整数性质的知识加以推理。
常用的基本技巧：
（1）分析算式中隐含的数量关系及数的性质，选择有特征的部分作为突破口。
例如：两数相乘，如果知道积的尾数就可以列出两个乘数个位数的各种可能情况。如：积的尾数是5，其中一个乘数是5，那么另一个乘数的尾数一定为奇数1、3、5、7、9。若积的尾数是偶数，那么两乘数中至少有一个为偶数。此外在乘法算式中，不仅积是由被乘数和乘数决定的，反过来，积的位数也限定了被乘数的乘数的大小。
（2）在确定所求的数字时，可采取试验法，为了减少试验的次数，常借助估值的方法，对某些数位上的数字进行合理地估计，逐步排除一些取值的可能，缩小所求数字的取值范围，经过很少的几次试验，得到准确的答案。
重点·难点
解决这一类题常常要通过观察、判断、推理、尝试（凑）等手段来处理。关键在于确定从何处着手，即找到突破口。
学法指导
解题三步：审题、选择突破口、试验求解。 经典例题
[例1]将2、3、4、5、6、8、11、12这8个数填在图1的□中，使它们组成图1中的4个等式。
思路剖析
这里有8个数字需要填入8个空格中，用多次试验的办法，虽然最终一定能找出答案，但很费时间。能不能开动脑筋，想出好办法，以减少试验的次数呢？题中有4个等式，含有4种运算，对于加、减运算，可填的情况很多，所以应先考虑乘、除运算。先将8个位置用字母标识出来。c既是a与b的乘积，作为被除数，它又是e与h的乘积。因此c应为可以写成两种不同乘积形式的数。只有12符合条件，因为：12=3×4=2×6，所以：a、b、e、h为3、4、2、6，剩下的三个数为11、5、8。f既为被减数，又是和，则f为最大的11，d、
g为5、8。可以先确定d、g的值，再写出a、b、e、h的值。由d=5，g=8或d=8，g=5，得到两种情况。
解答
点津
得到c的值后，不要急于确定a、b、e、h的值，虽然经过有限的几次尝试可以得到正确答案，但很容易丢掉一个解。应该开阔你的视野，注意到还有条件没被用到。所以第二步应确定f。
[例2]将1~11填入图2内，使相邻两个或三个数字组成的横竖斜行的和为14。
思路剖析
如图3：假设以字母a~k代表数字1~11（不考虑顺序）。此题的突破口在于b，在求和时，它被用了两次。
因为：a+b+?+k=1+2+?+11=66，又由题意可知：a+b+d=14①，c+b=14②，i+j+k=14
ab????k?b?14?5?70???????66③，e+f=14④，g+h=14⑤，将①+②+③+④+⑤得：。所以：
b=70-66=4，则c=14-4=10，a+d=10，在剩下的数中寻找和为10的两个数，有三种情况，1+9=10，
2+8=10，3+7=10。第一种：先确定a=1，d=9，剩下的数：2、3、5、6、7、8、11；其中和为14的两个数为11+3=14，8+6=14；剩下的三个数2、5、7即为i、j、k。第二种：先确定a=2，d=8，剩下的数：1、3、5、6、7、9、11，其中和为14的两个数为11+3=14，5+9=14；那么i、j、k的值为1、7、6。第三种，确定a=3，b=7，剩下的数：1、2、5、6、8、9、11，其中和为14的两个数为9+5=14，6+8=14，那么i、j、k的值为1、2、11。答案见图4。
点津
此题的难点有两个，首先在于确定b的值，从其位置的特殊性，不难确定b为突破口，其次在于确定a、d的值时，要找出所有可能的情况，才不至于丢解。而有些同学易犯只找到一个答案就结束思考，没有考虑到多解的情况。
[例3]9○13○7=100 21○7○2=□把“+、-、×、÷”分别填在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），并在方框中填上适当的整数，使上面的两个等式成立。
思路剖析
由于第二个算式没有结果，填法很不确定，因此只能先从第一个等式入手。等式右边是100，比9、13、7大得多，因此可以确定不能填入“-”和“÷”，只能填“+”和“×”，若组成9×13与7构不成100，因此填9⊕13?7=100，“+”和“×”号已被用过，在第二个式子中只有“-”、“÷”可填；题意要求在方框中填整数，很容易看出7不能被2整除，所以除号只能填在21与7之间，而7与2之间填减号。
解答 点津
此题目解题的切入点在第一个算式，添符号的过程中要时刻注意等号左右两边的大小的对比，有方向的尝试。
[例4]由1，2，3?，9组成如下算式，已给出四个数字，请补上其他数字。
思路剖析
先把未知数用字母表示出来。
剩下的5个数字为：3、4、5、7、8
因为b-e=1，b=e+1，且e<9，则e、b是两个连续的自然数。剩下的数中没有差为9的两个数，则一定是10+a-d=9，由此可以确定c=6-2-1（“1”是被十位借走的），则c=3。还剩下的数为4，5，7，8，b-e=1，可能是8-7=1或5-4=1。
解答
点津
此题是减法题，就涉及到从上一位退“1”再减的情况。若是加法，还有可能出现向上一位进“1”的情况。
[例5]把下面的算式补充完整。
思路剖析
从乘数的十位数字入手，考虑9与被乘数的乘积。由于第二行乘积的个位是7，被乘数的个位只能是3。第二行乘积的十位是1，而且是进“2”后（由于3×9=27），为“1”，则实际应为（11-2）=9，那么被乘数的十位只能是1，被乘数的千位3与9的乘积为27，而第二行乘积所示结果为30，说明从百位与9的乘积中进“3”，那么被乘数与9的积必为36，被乘数百位是4。第一行乘积的个位是1，是被乘数个位3与乘数个位的积，那么乘数的个位一定为7。
解答
点津
由乘积的结果去反推乘数、被乘数的数值，要从个位做起，得到一个数值后，又可以将它作为“已知数”，求得各行乘积。
[例6]把下面除法算式中缺少的数字补上。
思路剖析
这是一道可以整除的算式。由于整除，可知：jklm?np6q即l=6，被除数的前三位是
8ef，除以7cd，商只能是1，所以a=1，那么d=3，h=7，j=8-7=1。第一余数1k6m除以7c3，
商只能为2，那么b=2。g=m=q=b×d=2×3=6，b×c=6，则c=3。除数为733，商为12，f=l+3=6+3=9，i=c=3，jklm?2?733?1466，k=4，e=i+k=3+4=7。
解答