莱芜十七中31级高二上学期末模拟
数学试题二
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为概率是
2的22231 B． C． D． 3553x??2. 若函数f(x)?sin(???0,2??)是偶函数，则??
32?3?5??A． B． C． D．
3232A．
3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是
A. 1cm3 B. 2cm3 C. 3cm3 D. 6cm3
4. 设a∈R ，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行的
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q= A．-2 B． -3 C． 3 D．2
x2y26. 椭圆2?且a?5)的的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、?1(a为定值，B，?FABa5的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 A．
2211 B． C． D．
2332227. 已知圆C:x?y?4x?0，l过点P(3,0)的直线，则
A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 8. 对于常数m、n，“mn?0”是“方程mx?ny?1的曲线是椭圆”的
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9. 圆(x?2)?y?4与圆(x?2)?(y?1)?9的位置关系为
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
x2y210. 已知双曲线C1：2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2.若抛物线C2:x2?2py(p?0)的焦点到双曲线
abC1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 A. x2?
22222283163y B. x2?y C. x2?8y D. x2?16y 331
11. 下列命题正确的是
A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
12. 已知F1,F2为双曲线x?y?2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|?2|PF2|，则cos?F1PF2?
221334 B． C． D． 4545二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.）
A．
13. 设集合A＝{x|－2－a 14. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|? ． ?x?y?1?0?15. 若函数y??x?y?3?0，则z?3x?y的最小值为 ． ?x?3y?3?0?16. 已知正方形ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为 ． 三、解答题（应写出证明过程或演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内，共74分.） 1? 17.（本小题12分）已知矩形ABCD的两条对角线交于点M ??2，0?，AB边所在直线的方程为3x－4y 1 －1，?在AD所在直线上． －4＝0.点N ?3?? （Ⅰ）求AD所在直线的方程及矩形ABCD的外接圆C1的方程； 1 －，0?，点F是圆C1上的动点，线段EF的垂直平分线交FM于点P，求动点P的轨迹（Ⅱ）点E ??2?方程． x2y2618.（本小题12分）椭圆C：2?2=1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3. 3ab（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 2 3，求△AOB面积的最大值. 2 19.（本小题12分）直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AA1，?CAB?（Ⅰ）证明CB1?BA1；（Ⅱ）已知AB?2，BC?5，求三棱锥 ?． 2C1?ABA1的体积． 20.（本小题12分）设m,n?R，若直线l:mx?ny?1?0与x轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆x?y?4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，求?AOB面积的最小值. 3 22 21.（本小题13分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形， AD?PD,BC?1,PC?23,PD?CD?2. （I）求异面直线PA与BC所成角的正切值； （II）证明：平面PDC?平面ABCD； （III 求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值. 22.（本小题13分）设抛物线C：x?2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B,D两点. （Ⅰ）若?BFD?90,?ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程； （Ⅱ）若A，B，F三点在同一条直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值. 02 4 参考答案：１. B２.C３.C４. A５.A６. A.７. A８.B９. B１０. D１１.C１２.C １３. [答案]1 5 15x－?2＋y2＝. 17. 【解析】 (1)直线AD的方程为4x＋3y＋3＝0，外接圆的方程为??2?4(2) P的轨迹方程是＋＝1. 511616 3x2y2 ?c6，x2??218. 【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3?b?1，?所求椭圆方程为?y?1． 3?a?3，?（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．（1）当AB⊥x轴时，AB?3．（2）当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y?kx?m．由已知m1?k2?33，得m2?(k2?1)．把y?kx?m代入椭圆243(m2?1)?6km方程，整理得(3k?1)x?6kmx?3m?3?0，?x1?x2?2，x1x2?． 23k?13k?1222?36k2m212(m2?1)???AB?(1?k)(x2?x1)?(1?k)? ?2223k?1??(3k?1)222212k21212312．当且仅当，即时?3?4?3?(k?0)≤3??4k??9k?22139k?6k?12?3?6k9k2?2?6k等号成立．当k?0时，AB?3，综上所述ABmax?2．?当AB最大时，△AOB面积取最大值 S?133． ?ABmax??22219. 【解析】（Ⅰ）连结AB1,?ABC?A1B1C1是直三棱柱，?CAB= ?2， ?AC?平面ABB1A1,故 AC?BA1．又?AB?AA1，?四边形ABB1A1是正方形，?BA1?AB1，又CA?AB1?A， ?BA1?平面CAB1，故CB1?BA1． （Ⅱ）?AB?AA1?2，BC?5，?AC?AC1C1?平面ABA11?1．由（Ⅰ）知，A1， ?VC1?ABA1?112?2?1?3S△ABA1·3． A1C1=31n1,0)，直线与圆相交所得的弦长为2，圆心到直m20．【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为A(0,),B( 5 线的距离d满足d?r?1?4?1?3，所以d?2223，即圆心到直线的距离d??1m?n22?3， 所以m2?n2?1111111?2?3，当且仅当??.三角形的面积为S?，又S?2mn2mn2mnm?n231时取等号，所以最小值为3. 6２１.【解析】（I）AD//BC??PAD是PA与BC所成角在?ADP中， PD，AD?P,DA?D?1B,C?P2tanD?PAD??2，异面直线PA与BC所成角的正切值为2. ADm?n?（II）AD?PD,AD?DC,PD?DC?D?AD?面PDC，?AD?面ABCD，?平面PDC?平面ABCD （III）过点P作PE?CD于点E，连接BE，平面PDC?平面ABCD?PE?面ABCD??PBE是直线PB与平面ABCD所成角，CD?PD?2,PC?23??PDC?120?PE?3,DE?1 在Rt?BCE中，BE??B2C?2CE?10?P?B2B?E2P1?E3在Rt?BPE中，， sin?PBE?PE3939?得：直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 PB131322. 【解析】设准线l于y轴的焦点为E，圆F的半径为r， 则|FE|=p，|FA|?|FB|=|FD|=r，E是BD的中点， 0（I）∵?BFD?90，∴|FA|?|FB|=|FD|=2p，|BD|=2p， p?y0， 21p1∵?ABD的面积为42，∴S?ABD=|BD|(y0?)=?2p?2p=42，解得p=2， 22222∴F(0,1), FA|=22， ∴圆F的方程为：x?(y?1)?8； 设A(x0，y0)，根据抛物线定义得，|FA|= （II）【解析1】∵A，B，F三点在同一条直线m上, ∴AB是圆F的直径，?ADB?90, 0313或－， |AB|，∴?ABD?300，∴m的斜率为3323p3x?，∴原点到直线m的距离d1=p， ∴直线m的方程为：y??324233x?2pb?0， 设直线n的方程为：y??x?b，代入x2?2py得，x2?3342p∵n与C只有一个公共点， ∴?=p?8pb?0，∴b??， 3633pp， ∴直线n的方程为：y??x?，∴原点到直线n的距离d2=1236由抛物线定义知|AD|?|FA|?∴坐标原点到m，n距离的比值为3. 6