2006高考数学试题陕西卷 文科试题（必修＋选修Ⅰ）
注意事项： １．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。 3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共60分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6=0}, 则P∩Q等于( ) A. {2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 1
2.函数f(x)= (x∈R)的值域是( )
1+x2A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
3. 已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.45
4.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(0, 0),其反函数的图像过点(1,2),则a+b等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( ) A.±2 B.±2 B.±22 D.±4
6. “α、β、γ成等差数列”是“等式sin(α+γ)=sin2β成立”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 14
7.设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为( )
xy A. 6 B.9 C.12 D.15
→→→→1ABACABAC→→→
8.已知非零向量AB与AC满足( + )2BC=0且 2 = , 则△ABC为( )
2→→→→|AB||AC||AB||AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
9. 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1 A.f(x1) 10. 已知双曲线2 － =1(a>2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( ) a232623 A.2 B.3 C. D. 33 11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( ) - 1 - A.平面ABC必平行于α B.平面ABC必与α相交 C.平面ABC必不垂直于α D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 第二部分（共90分） 二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。 13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 1 14.(2x－)6展开式中常数项为 (用数字作答) x16.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种 . 15.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。 17.(本小题满分12分) 211 甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .现3人各投篮1次,求: 523(Ⅰ)3人都投进的概率; (Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率. 18. (本小题满分12分) 已知函数f(x)=3sin(2x－ ππ )+2sin2(x－) (x∈R) 612 (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合. 19. (本小题满分12分) 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=2, 求: (Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小. - 2 - A A1 l β B 第19题图 α B1 20. (本小题满分12分) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an . 21. (本小题满分12分) →→→→→→ 如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足AD=tAB, BE = t BC, DM=t DE, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程. y A C D M x 1 2 －2 －1 O E －1 B 22.（本小题满分１4分） 已知函数f(x)=kx3－3x2+1(k≥0). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)的极小值大于0, 求k的取值范围. - 3 - 2006年高考文科数学参考答案（陕西卷） 一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D 9．A 10．D 11．D 12．C 二、填空题 1 13．－ 14．60 15．1320 16．3R 2 三、解答题 17.解: (Ⅰ)记\甲投进\为事件A1 , \乙投进\为事件A2 , \丙投进\为事件A3, 211 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= , 523 2133 ∴ P(A1A2A3)=P(A1) 2P(A2) 2P(A3) = 3 3= 525253 ∴3人都投进的概率为 25 (Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进\为事件B －AA)+P(AA－－P(B)=P(A12312A3)+P(A1A2A3) －)2P(A)2P(A)+P(A)2P(A－)2P(A)+P(A)2P(A)2P(A－) =P(A12312312321321321319 =(1－)3 3 + 3(1－)3 + 3 3(1－) = 5255255255019 ∴3人中恰有2人投进的概率为 5018.解:(Ⅰ) f(x)=3sin(2x－ = 2[ ππ)+1－cos2(x－) 612 ππ31 sin2(x－)－ cos2(x－)]+1 212212 ππ =2sin[2(x－)－]+1 126π = 2sin(2x－) +1 3 2π ∴ T= =π 2 πππ (Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,有 2x－ =2kπ+ 332即x=kπ+ 5π5π (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ , (k∈Z)}. 1212 - 4 - y A F A1 l β B 第19题解法一图 E B1 α A1 l β x A F α E B1 y B 第19题解法二图 19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l, ∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角. Rt△BB1A中, BB1=2 , AB=2, ∴sin∠BAB1 = BB12 = . ∴∠BAB1=45°. AB2 AA11 Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°. AB2 故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°. (Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角. 在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=2. ∴Rt△AA1B中,A1B=AB2－AA12 =4－1 = 3. 由AA12A1B=A1F2AB得 A1F=∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(2,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),→→→ 则存在t∈R,使得AF=tAB , 即(x,y,z－1)=t(2,1,－1), ∴点F的坐标为(2t, t,1－t).要使A1F1→→→ ⊥AB,须A1F2AB=0, 即(2t, t,1－t) 2(2,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t= , ∴点F的坐 4标为( 213213112→→ ,－, ), ∴A1F=(,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴EF=(,444444224 AA12A1B1333 = = , AB22 A1E66 = , ∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin . A1F33 11 －,). 44 211111→→→→ 又EF2AB=(,－,)2(2,1,－1)= － － =0, ∴EF⊥AB, ∴∠A1FE为所求二面 444244角的平面角. 213211113 →→(，，)2(，－，)－+ 44444481616A1F2EF13 又cos∠A1FE= = = = = , 3→→219211313|A1F|2|EF|++ 2++ 2 16161616161642∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos 3 . 3 - 5 -