20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
→→→→
21.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD=tAB, BE = t BC,
?xD=－2t+2?xE=－2t
知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴? 同理 ? .
?yD=－2t+1?yE=2t－1
∴kDE =
yE－yD2t－1－(－2t+1)
= = 1－2t. ∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1]. xE－xD－2t－(－2t+2)
→→
(Ⅱ) ∵DM=t DE ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－
?x=2(1－2t)x22
2t). ∴?2 , ∴y= , 即x=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2]. 4?y=(1－2t)
即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2] 解法二: (Ⅰ)同上.
→→→→→→→→
(Ⅱ) 如图, OD=OA+AD = OA+ tAB = OA+ t(OB－OA)
y →→
= (1－t) OA+tOB,
→→→→→→→→→OE = OB+BE = OB+tBC = OB+t(OC－OB) =(1－t) OB→+tOC,
→→→→→→→→→OM = OD+DM= OD+ tDE= OD+t(OE－OD)=(1－t) OD+ →tOE
→→→
= (1－t2) OA + 2(1－t)tOB+t2OC .
C M －2 －1 O E －1 B 1 D A 2 x 第21题解法图 →→→
设M点的坐标为(x,y),由OA=(2,1), OB=(0,－1), OC=(－2,1)得
?x=(1－t2)22+2(1－t)t20+t22(－2)=2(1－2t)2?222 消去t得x=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2]. ?y=(1－t)21+2(1－t)t2(－1)+t21=(1－2t)
故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
22.解: （I）当k=0时, f(x)=－3x2+1 ∴f(x)的单调增区间为(－∞,0],单调减区间[0,+∞). 2
当k>0时 , f '(x)=3kx2－6x=3kx(x－) k
22
∴f(x)的单调增区间为(－∞,0] , [ , +∞), 单调减区间为[0, ].
kk（II）当k=0时, 函数f(x)不存在最小值.
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当k>0时, 依题意 f()= 2 － 2 +1>0 ,
kkk即k2>4 , 由条件k>0, 所以k的取值范围为(2,+∞)
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