第4章 不定积分
内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； 性质3：[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原函数F(t)，?1则 ?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(?分部积分法 有理函数积分 本章 的地 位与 作用 (x))?C ?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 1
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)
?xdx2x
思路: 被积函数 1x2x?52?x，由积分表中的公式（2）可解。
3?52解：
?x?dx22???xdx??x2?C
3x1x)dx
★(2)(3x?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
3解：?(x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?x3?2x2?C
4x3??x2dx ★(3)（2?x）11312131241?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
2x13（2?x）dx??2dx??xdx??x?C 解：?ln23x2x2★(4)
?x(x?3)dx
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：
?2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C
53212533x4?3x2?1dx ★★(5)?2x?13x4?3x2?112?3x?思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，
x2?1x2?1分别积分。
3x4?3x2?1123dx?3xdx?dx?x?arctanx?C 解：?22??x?11?xx2dx ★★(6)?1?x2 2
x2x2?1?11??1?思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，1?x21?x21?x2分别积分。
x21dx?dx?dx?x?arctanx?C. 解：?22??1?x1?x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，
通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)（-?x134+3-4）dx 2xxx思路:分项积分。 解：（-x13411+-）dx?xdx?dx?3?x?3dx?4?x?4dx ?2xx3x4??2x134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 423★(8)(?32?)dx 221?x1?x思路:分项积分。 解：(?3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 22??221?x1?x1?x1?x★★(9)思路:解：
?xxxdx
111??248xxx?？看到xxx?x7815?x，直接积分。
78?8xxxdx??xdx?x8?C.
151?x2(1?x2)dx
★★(10)
思路:裂项分项积分。 解：
111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x2(1?x2)?x21?x2?x2?1?x2xe2x?1dx ★(11)?xe?1e2x?1(ex?1)(ex?1)dx??dx??(ex?1)dx?ex?x?C. 解：?xxe?1e?1xx★★(12)3edx
? 3
（3e）。 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3e?x（3e）解：?3edx??（3e）dx??C.
ln(3e)xxx2★★(13)cotxdx
xxx?思路:应用三角恒等式“cotx?cscx?1”。
22解：cotxdx?(cscx?1)dx??cotx?x?C
22??2?3x?5?2xdx ★★(14)?x32?3x?5?2x2x?2?（5），积分没困难。 思路:被积函数
3x32()x2?3?5?22x3解：?dx?（2?（5））dx?2x?5?C. x?33ln2?ln32xdx ★★(15)?cos2xx思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
x1?cosx11d?dx?x?sinx?C. ?2?2221dx ★★(16)?1?cos2x解：cos2思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
11112dx?dx?secxdx?tanx?C. ?1?cos2x?2cos2x2?2cos2xdx ★(17)?cosx?sinx解：
思路:不难，关键知道“cos2x?cosx?sinx?(cosx?sinx)(cosx?sinx)”。
22cos2x?cosx?sinxdx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C.
cos2xdx ★(18)?22cosx?sinx解：
思路:同上题方法，应用“cos2x?cosx?sinx”，分项积分。
22cos2xcos2x?sin2x11dx?dx?dx?解：??cos2x?sin2x?sin2x?cos2xx cos2x?sin2x??csc2xdx??sec2xdx??cotx?tanx?C.
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★★(19)(?1?x1?x?)dx 1?x1?x1?x1?x1?x1?x2，应用公式(5)即可。 ????2221?x1?x1?x1?x1?x思路:注意到被积函数
解：(?1?x1?x1?)dx?2?dx?2arcsinx?C.
21?x1?x1?x1?cos2xdx ★★(20)?1?cos2x1?cos2x1?cos2x121??secx?思路:注意到被积函数 ，则积分易得。 21?cos2x222cosx1?cos2x11tanx?xdx??sec2xdx??dx??C. 解：?1?cos2x222★2、设xf(x)dx?arccosx?C，求f(x)。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：解：等式两边对x求导数得：
?d[?f(x)dx]?f(x)即可。 dxxf(x)??11?x2,?f(x)??1x1?x2
★3、设f(x)的导函数为sinx，求f(x)的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。
解：由题意可知，f(x)?sinxdx??cosx?C1
?dx??sinx?C1x?C2。 所以f(x)的原函数全体为：（?cosx?C1）?12xxexx★4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数
2chx-shx知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：只需验证即可。 解：
d1ddex?e2x，而[(e2x)]?[exshx]?[exchx]?e2x
dx2dxdxchx?shx2★5、一曲线通过点(e,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此
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