思路:令x?atant,t?解：令x?atant,t??2，三角换元。
2????2dxasec2tdtdt11??3??costdt?sint?C322?2?223asectasectaa(x?a)，则dx?asectdt。
xa2
a?x22?C.★★★★(5)
?xx2?14dx x?12思路:先令u?x，进行第一次换元；然后令u?tant,t??2，进行第二次换元。
1x2?1解：?dx??dx2，令u?x2得：
2x2x4?1xx4?1x2?1?1u?12u?tant,t?du?sectdt， ，令，则dx?du?xx4?12?uu2?12??1u?11tant?11tant?12du?sectdt?sectdt???4222tant?sect2tantxx?1uu?1111??(csct?sect)dt?lnsect?tant?lncsct?cott?C222dx?11?lnu2?1?u?ln22（与课本后答案不同） ★★★(6)
x2?1x2?1
u2?111??C?lnuu21x?1?x?ln242x4?1?1?C.2x?5?4x?x2dx
思路:三角换元，关键配方要正确。 解：
5?4x?x2?9?(x?2)2，令x?2?3sint,t??2，则dx?3costdt。
??5?4x?x2dx??9cos2tdt?9?1?cos2tt1dt?9(?sin2t)?C2249x?2x?2?arcsin?5?4x?x2?C.232★★4、求一个函数f(x),满足f(x)?'
11?x，且f(0)?1。
思路:求出11?x的不定积分，由条件f(0)?1确定出常数C 的值即可。
16
解：
?11?xdx??11?xd(x?1)?21?x?C.
令f(x)?21?x?C，又f(0)?1，可知C??1，
?f(x)=21?x?1.
n★★★5、设In?tanxdx,，求证：In??1tann?1x?In-2，并求?tan5xdx。 n?1nn?2思路:由目标式子可以看出应将被积函数tanx 分开成tanxtan2x，进而写成：
tann?2x(sec2x?1)?tann?2xsec2x?tann?2x，分项积分即可。
nn?2xsec2x?tann?2x)dx?tann?2xsec2xdx?tann?2xdx 证明：In?tanxdx?(tan??????tann?2xdtanx?In?2?1tann?1x?In?2.n?1111 n?5时，I5??tan5xdx?tan4x?I3?tan4x?tan2x?I14421111?tan4x?tan2x??tanxdx?tan4x?tan2x?lncosx?C.4242习题4-3
1、 求下列不定积分：
知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 ★（1）arcsinxdx
思路:被积函数的形式看作xarcsinx，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数x优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx。 解：arcsinxdx?xarcsinx?x00???11?x2dx?xarcsinx?112d(1?x) ?221?x?xarcsinx?1?x2?C.
2★★（2）ln(1?x)dx
?思路：同上题。
2x2x22dx?xln(1?x)??dx 解：?ln(1?x)dx?xln(1?x)??x1?x21?x222 17
2(x2?1)?2dx2?xln(1?x)??dx?xln(1?x)?2dx?2??1?x2 1?x2?xln(1?x2)?2x?2arctanx?C.2★（3）arctanxdx 思路：同上题。
?dx1d(1?x2)?xarctanx??解：?arctanxdx?xarctanx??x 1?x221?x21?xarctanx?ln(1?x2)?C
2x?2x★★(4)?esindx
2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：
xx1?2x1?2xx1?2x1x?2xesindx?sind(?e)??esin?ecosdx ???222222221x1x1??e?2xsin??cosd(?e?2x)224221x11x1x??e?2xsin?(?e?2xcos??e?2xsindx)2242242
1x1x1x??e?2xsin?e?2xcos??e?2xsindx2282162x2e?2xxx?2x??esindx??(4sin?cos)?C.217222★★(5)xarctanxdx
?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
x313131dx 解：?xarctanxdx??arctanxd()?xarctanx??x3331?x22131x131x3?x?x?xarctanx?(x?)dx dx ?xarctanx??22?331?x331?x1311x1312112xarctanx??xdx??dx?xarctanx?x?d(1?x)22?3331?x3661?x
13121?xarctanx?x?ln(1?x2)?C.366?★(6)xcosdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
?x2 18
解：xcosdx?2xdsin ?2xsin?x2?xxxxxx?2xsin?2?sindx?2xsin?4?sind 222222xx?4cos?C. 222★★(7)xtanxdx
?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
2解：xtanxdx??222x(secx?1)dx?(xsecx?x)dx?xsecxdx??xdx ???11??xd(tanx)??xdx?xtanx??tanxdx?x2?xtanx?lncosx?x2?C.
222★★(8)lnxdx
?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：lnxdx?xlnx?x?2lnx?dx?xlnx?2lnxdx?xlnx?2xlnx?2x??22?1x2?2?1dx x?xln2x?2xlnx?2?dx?xln2x?2xlnx?2x?C.
★★(9)xln(x?1)dx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
?x2121x2?xln(x?1)??dx 解：?xln(x?1)dx??ln(x?1)d222x?1111121x2?1?1)dx dx?x2ln(x?1)??(x?1? ?xln(x?1)??22x?122x?1?12111xln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C 2422ln2x★★(10)?2dx
x思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
ln2x1121112lnx2解：?2dx??lnxd(?)??lnx??2lnx?dx??lnx?2?2dx
xxxxxxx11121122??ln2x?2?lnxd(?)??ln2x?lnx?2?2dx??ln2x?lnx??C
xxxxxxxx12 ??(lnx?lnx?2)?C
x★★(11)coslnxdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
? 19
解：
1coslnxdx?xcoslnx?xsinlnx?dx?xcoslnx??sinlnxdx ??x1?xcoslnx?xsinlnx??xcoslnx?dx?xcoslnx?xsinlnx??coslnxdxx
x??coslnxdx?(coslnx?sinlnx)?C.2★★(12)
lnx?x2dx
思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。
n★★(13)xlnxdx?(n??1)
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
xn?11n?11n?11?xlnx??x?dx 解：?xlnxdx??lnxdn?1n?1n?1xn?1n?11n1n?1?1?xlnx??xdx?x?lnx???C. n?1n?1n?1(n?1)??2?x★★(14)xedx
?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
2?x2?x?x2?x?x?x解：xedx??xe?e2xdx??xe?2xe?2edx
?????x2e?x?2xe?x?2e?x?C??e?x(x2?2x?2)?C
32★★(15)x(lnx)dx
?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：x(lnx)dx?(lnx)d(x)??32?21441411x(lnx)2??x4?2lnx?dx 44x14111x(lnx)2??x3lnxdx?x4(lnx)2??lnxdx442481111111?x4(lnx)2?x4lnx??x4?dx?x4(lnx)2?x4lnx??x3dx 488x48811111?x4(lnx)2?x4lnx?x4?C?x4(2ln2x?lnx?)?C.483284?★★(16)
lnlnx?xdx
lnlnxdx写成lnlnxd(lnx)，将lnx看作一个整体变量积分即可。 xlnlnx111dx??lnlnxd(lnx)?lnxlnlnx??lnx??dx?lnxlnlnx??dx 解：?xlnxxx思路： 将积分表达式
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